5.2. Виды средних величин

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Выбор того или иного типа средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин.

Существует две категории средних величин:

• степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая и т.д.);

• структурные средние (мода, медиана).

Существует общая для всех видов средних величин схема расчета:

Рассмотрим средние в рядах распределения.

5.3.Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - наиболее распространенный вид средней. По первичным, не сгруппированным данным, в ранжированных рядах распределения, а также, если равны веса, рассчитывается средняя арифметическая простая. Вывести эту формулу несложно.

В нижеследующей таблице приведены данные, на основании которых произведены расчеты среднего размера заработной платы в расчете на одного работника.

№ работника по списку	Размер заработной платы (грн.)	№ работника по списку	Размер заработной платы (грн.)
1	180	11	230
2	190	12	190
3	200	13	200
4	180	14	210
5	210	15	260
6	230	16	200
7	240	17	220
8	190	18	200
9	200	19	230
10	240	20	190

Чтобы вычислить среднюю заработную плату необходимо сложить все заработные платы и разделить на количество сотрудников. В числителе у нас будет объем значений признака, т.е. общая сумма расходов на оплату труда по предприятию. Если обозначить заработную плату как х, а количество работников - n, то формулу расчета средней величины можно представить следующим образом:

Поскольку в числителе представлена сумма всех х, удобнее будет пользоваться знаком суммирования

И формула средней арифметической простой примет вид:

где Х1, Х2,…Хn – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), n – число единиц совокупности.

В нашем примере средняя заработная плата равна:

Далее, производим группировку данных о размерах заработной платы и получаем дискретный ряд распределения:

x	f
180	2
190	4
200	5
210	2
220	1
230	3
240	2
260	1
Итого:	20

В правой колонке – размеры заработных плат, или так называемая варианта(x), в правой – число работников, получающих соответствующую заработную плату, т.е. количество повторений изучаемого признака (f). Чтобы вычислить средний размер заработной платы необходимо сумму всех заработных плат разделить на количество работников, т.е. (1802+1904+2005+2102+2201+2303+2402+2601)/ /20=290,5. Формула для расчета будет выглядеть следующим образом:

Это средняя арифметическая взвешенная

,

где х₁, х₂,…х_n – сгруппированные величины;

f₁, f₂,…., f_n – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

p - общая численность единиц совокупности

Свойства средних арифметических:

1. Если каждую варианту изменить на какую-то величину А, то средняя изменится на такую же величину.

, откуда

, откуда

2. Если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз. Если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число, то средняя увеличится во столько же раз.

, откуда

, откуда

3.Если каждое значение веса умножить или разделить на одну и ту же величину, средняя не изменится .

Эти свойства средней можно использовать, чтобы упростить расчеты.

В этих целях прибегают к так называемому «способу моментов».

Расчет средней величины в упрощенном варианте будет выглядеть следующим образом:

Рассмотрим на конкретном примере использование «способа моментов» при расчете средней величины. Уменьшим в задаче все варианты на постоянное число А, а веса разделим на некоторое число i., тогда имеем следующее:

В качестве величины А обычно выбирается варианта (х), имеющая наибольшую частоту (то есть мода дискретного ряда распределения). Наибольшая частота по примеру равна 180, а соответствующая ей варианта равна 102. (А=102), величину i удобно принять равной 10. Тогда имеем:

x	f	x-A	f/10	(x-A)f/10
98	120	-4	12	-48
101	150	-1	15	-15
102	180	0	18	0
102	130	2	13	26
100	110	-2	11	-22
99	100	-3	10	-30
Итого	790	х	79	-89

, =-1,13+102=100,87

Сегодня способ моментов используется редко ввиду того, что современные возможности вычислительной техники позволяют проводить и более серьезные расчеты.

Помимо средней арифметической достаточно широко применяется в статистике средняя гармоническая.