Розділ 1. Теорія ймовірностей

1.1. Основні поняття теорії ймовірностей

Подія ( позначається прописними буквами латинського алфавіту: А, В, С) – це будь - який факт, що може відбутися або не відбутися в результаті випробування.

Під випробуванням (іспитом) розуміється виконання певного комплексу умов, в яких спостерігається те чи інше явище і фіксується той чи інший результат.

Подія називається вірогідною, якщо в результаті випробування вона обов’язково відбудеться.

Подія називається неможливою, якщо в результаті випробування вона ніколи не відбудеться.

Подія називається випадковою, якщо в результаті випробування вона або відбудеться або ні.

Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої. В протилежному випадку події називаються сумісними.

Події називаються рівно можливими, якщо в результаті випробування за умовою симетрії ні одна з цих подій не є об’єктивно більш можливою.

Декілька подій називаються єдино можливими, якщо в результаті випробувань обов’язково повинна відбутися хоча б одна з них.

Декілька подій утворюють повну групу (повну систему), якщо вони є єдино можливими і несумісними результатами випробувань. Це означає, що в результаті випробувань обов’язково повинна відбутися одна і тільки одна з цих подій.

Частинним випадком подій, що утворюють повну групу є протилежні події. Дві несумісні події, з яких одна повинна обов’язково відбутися, називаються протилежними.

Чисельна міра степені об’єктивної можливості появи події називається ймовірністю події.

Це означення, якісно відтворююче поняття ймовірності події, не є математичним. Щоб воно таким було, необхідно визначити його кількісно.

Випадок називається сприятливим події А, якщо поява цього випадку веде за собою появу події А.

В дійсності існує три означення ймовірності. Згідно класичному означенню ймовірність події А дорівнює відношенню числа випадків, сприяючих їй до загального числа випадків, тт.

, (1.1)

де – число випадків, сприяючих події А; – загальне число подій.

Приклад 1.1. В урні 12 куль: 3 білих, 4 чорних і 5 червоних. Яка ймовірність витягнути з урни червону кулю.

Розв’язання. Позначимо подію – з урни витягнули червону кулю, через А. Всього маємо =12 куль, з них червоних =5. Тоді, застосувавши формулу (1.1) отримаємо

.

Властивості ймовірностей подій

1. Ймовірність любої події заключна між нулем і одиницею, тт.

2. Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці.

3. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

Статистичною ймовірністю події А називається відносна частота появи цієї події в проведених випробуваннях, тт.

, (1.2)

де – статистична ймовірність події ; – відносна частота події ; – число іспитів, в яких з’явилась подія ; – загальне число іспитів.

Приклад 1.2. По цілі зроблено 20 пострілів, причому зафіксовано 18 влучень. Знайти відносну частоту влучень в ціль.

Розв’язання. Нехай подія А – влучення в ціль. Всього було зроблено =20 пострілів, з них =18 влучень. Тоді відносна частота влучень в ціль за формулою (1.2) дорівнює .

Одним з недоліків класичного означення ймовірності, обмежуючим його застосування, є те, що воно передбачає кінцеве число можливих результатів випробувань.

Якщо позначити міру (довжину, площу, об’єм) області через mes, то геометричною ймовірністю події А називається відношення міри області сприятливої появі події А до міри усієї області, тт.

, (1.3)

де g – фігура, сприятлива появі події А; G – фігура, на яку навмання кидається точка.

Приклад 1.3. Два лиця А і В домовилися зустрітися в визначеному місці, при цьому кожний з’являється туди в любий момент часу між 11 і 12 годинами і дожидає на протязі 20 хвилин. Якщо партнер до цього часу ще не прийшов або вже покинув домовлене місце, зустріч не відбулася. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться.

Розв’язання. Позначимо моменти приходу в визначене місце лиць А і В через і . В прямокутній системі координат візьмемо за початок відліку 11 годин, а за одиницю вимірювання –1 год. За умовою , . Цим нерівностям

з адовольняють координати любої точки, що належить

квадрату зі стороною 1. Нехай подія – зу-

стріч двох лиць – відбудеться, якщо різниця між і

не перевищує часу (по абсолютній величині), тт.

. Розв’язком останньої нерівності є смуга

, що знаходиться в середині квадрата (площа g) (рис.1). За формулою (13) маємо

.

Площа g дорівнює площі квадрата без суми площ двох кутових не замальованих трикутників.