11) Спектральный метод исследования прохождения сигналов через линейные цепи.

Под линейностью понимается свойство системы не образовывающее гармонических колебаний на выходе, т.е. на выходе линейной цепи не могут присутствовать гармоники с частотами которых не было на входе если на вход линейного сигнала подать одно гармоническое колебание с известной частотой, амплитудой начальной фазы, то на выход должно быть тоже одно гармоническое колебание той же частоты, но возможно с другой амплитудой и начальной фазой. По изменению амплитуды гармоники можно судить о степени затухания гармонического колебания в этой системе. А по изменению начальной фазы о скорости распространения сигнала в ней. Если для какого-то конкретного сигнала известна функция, показывает изменение затухания и скорости распространения гармоники со всеми возможными частотами, эта функция является адекватной математической модели этой системы в частотной области. Она называется комплексным коэффициентом передачи системы:

К(jω) = | К(jω)| e ^jφ(ω), где

| К(jω)| - АЧХ,

φ(ω) – ФЧХ. АЧХ характеризует передаточное свойство системы по амплитуде, АЧХ показывает для каждого конкретного значения ω_j отношение амплитуды гармоники этой частоты на выходе системы к амплитуде гармоники этой же частоты на входе. Полоса частот в пределах которой АЧХ изменяется от своего максимального значения до 0,707 называется полосой пропускания системы. Если коэффициент передачи системы остается постоянным для всех частот, то такая система считается идеальной и коэффициент передачи становится не функцией частоты, а постоянной коэффициентом усиления/ослабления системы. Данный коэффициент говорит об изменении масштаба сигнала без изменения его формы при прохождении сигнала через эту систему. ФЧХ для каждого конкретного значения ω_j показывает набег фазы гармоники этой частоты за время прохождения через систему. Она характеризует скорость распространения гармоники в системе. Поскольку набег фазы прямо пропорционален значению частоты ω_j

умножению на время распространения гармоники в системе:

φ(ω) = Δt_jω_j. Если скорость распространения гармоник всех частот в системе одинакова, то набег фазы каждой гармоник будет прямо пропорционален значению частоты этой гармоники, т.к. Δt_j=const для всех частот и ФЧХ такой системы будет иметь вид наклонной прямой линии. Чем меньше угол наклона идеальная и реальная ФЧХ относительно оси абсцисс, тем выше скорость распространения гармоник в этой системе. Гармоники более высокой частоты распространяются быстрее в рассматриваемой системе и затухание сильнее по сравнению с НЧ компонентами. Подобные характеристики имеют отрезок телефонного кабеля определенной длины. Суть спектрального метода анализа линейных систем заключается в выражении:

По известному входному сигналу находят с помощью прямого преобразования Фурье его спектральной плотности. Спектр выходного сигнала находят перемножением входного сигнала и комплексного коэффициента передачи системы:

а затем по известному спектру выходного сигнала находят его форму с помощью обратного преобразования Фурье: