16. Критическая сила. Критические напряжения. Условие устойчивости.
;
;
Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения. Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень. Для сжатого стержня с шарнирно опертыми концами критическое напряжение определяется по формуле Эйлера. Величина критического напряжения зависит от условий заделки концов стержня. Для того, чтобы судить устойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающую силу, которая вызовет прогиб. Если сила Р невелика, то прогиб окажется малым, равновесное состояние (прямолинейное) фактически не изменится . Однако если сила Р превысит некоторое значение называется критическим (F кр ), то равновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущения приведут к значительным прогибам. Зависимость между прогибом и силой показана действительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.
17. Влияние условий закрепления на величину критической силы.
Мы рассмотрели так называемый основной случай нагружения и закрепления концов сжатого стержня – стержень с шарнирно опертыми концами. Рассмотрим другие случаи закрепления концов стержня.
Рис. 2.9.7
На
рисунке 2.9.7,а показан стержень, длиной
,
жестко защемленный одним концом и
нагруженный сжимающей силой на другом
конце. Изогнутая ось данного стержня
будет находиться в тех же условиях, что
и правая часть стержня двойной длины с
шарнирно-закрепленными концами (рис.
2.9.7, б). Значит, критическая сила для
стойки
с
одним защемленным, а другим свободным
концами будет та же, что для стойки с
шарнирно-опертыми концами при длине
:
(2.9.12)
Аналогично можно определить значение критической силы для стержня, у которого оба конца жестко заделаны (рис.2.9.8, а)
Рис. 2.9.8
После
потери устойчивости стержня вследствие
симметрии средняя его часть длиной
работает
в тех же условиях, что и стержень при
шарнирно опертых концах (рис.2.9.8, б)
(2.9.13)
Анализируя выражения (2.9.10), (2.9.12) и (2.9.13), формулу для критической силы можно представить в виде
(2.9.14)
где
-
коэффициент приведения длины, зависящий
от способа закрепления стержня.
Понятие
коэффициента приведения длины впервые
было введено известным русским ученым
Феликсом Станиславовичем Ясинским,
который столкнулся с проблемой
устойчивости стержней при составлении
проектов усилений металлических мостов.
Он так же исследовал точное решение
дифференциального уравнения продольного
изгиба и ввел понятие приведенной
длины
.
18.Предел применимости формулы Эйлера.
Формула Эйлера выполняется только при условии выполнения закона Гука.
- предельная гибкость.
Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.
