2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную взаимосвязь включенных в его схему элементов.

Модель межотраслевого баланса для n-отраслей можно отображать с помощью следующей системы линейных уравнений:

где Х₁, Х₂, …, Х_n – валовая продукция, первой отрасли, второй и т.д. n-ой;

У₁, У₂, …, У_n – конечная продукция первой, второй и т.д. n-ой отрасли соответственно;

x_ij – производственные материальные затраты продукции i-той отрасли на производство продукции отрасли j; .

Или следующая запись экономико-математической модели МОБ:

( )

Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, состоящая из коэффициентов прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой модели межотраслевого баланса.

Предполагается, что для производства единицы продукции в отрасли j необходимо определенное количество затрат промежуточной продукции отрасли i. Обозначим эту величину через a_ij. Эта величина не зависит от объема производства в отрасли и является достаточно стабильной во времени. Величины a_ij называют коэффициентами прямых материальных затрат.

( ; ) (4)

Определение: Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли непосредственно расходуется для производства единицы продукции отрасли j.

Из соотношения (4) получим, что

(5)

Тогда с учетом формулы (5) систему уравнений баланса можно записать в виде:

(6)

или краткая запись: .

Если ввести рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат: , вектор-столбец валовой продукции и вектор-столбец конечной продукции , то система уравнений (6) в матричной форме примет вид:

(7)

Система уравнений (6) или в матричной форме (7) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты - выпуск»).

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно используя формулу (7), определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i).

, где Е – единичная матрица порядка “n”

, т.е.

(8)

2. Если известны величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно найти величины валовой продукции каждой отрасли (X_i).

Воспользуемся формулой ; из этого матричного уравнения следует найти множитель X.

Умножим обе части уравнения с левой стороны на матрицу ; получим: , но = Е, тогда имеем:

(9)

где - матрица, обратная матрице

, где - определитель матрицы , - присоединенная матрица, элементами ее являются алгебраические дополнения элементов матрицы ’, транспонированной к матрице .

3. Для ряда отраслей заданы величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей известны объемы конечной продукции, тогда для нахождения величин конечной продукции первых отраслей и объемов валовой продукции остальных отраслей, можно воспользоваться системой линейных уравнений (6); .

Обозначим матрицу через. В, т.е. , тогда систему уравнений в матричной форме (9) можно записать в виде:

(10)

Элементы матрицы В обозначим через b_ij, т.е. матрица В имеет вид: , тогда матричное уравнение (10) можно записать в виде системы уравнений:

(11)

или

(11)

Из соотношений (11) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij.

Коэффициент b_ij показывает, сколько нужно произвести продукции i-той отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-той отрасли.

Коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.

Прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта.

Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Коэффициент полных материальных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-той отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-той отрасли.

Зная коэффициенты полных материальных затрат, можно найти изменение валовой продукции некоторой отрасли, если известно изменение объемов конечной продукции всех отраслей;

(12)

где - изменение величины валовой продукции i-той отрасли;

- изменение величины конечной продукции j-той отрасли.