Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц

5.коммутативность;

6.ассоциативность;

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

Транспонированная матрица

С каждой матрицей A = (a_ij) размера связана матрица B = (b_ij) размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так A^T. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (a_ij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

Задание 2

Параметрические уравнения плоскости

В векторном виде

В координатах

Задание 3

для случая a=1 и b=1

Билет №6

Задание 1

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Иные матрицы — не единичны!

Задание 2

Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Гиперкуб — обобщение куба на случай с произвольным числом измерений.

Гиперкубом размерности Ν называется множество точек в Ν-мерном евклидовом пространстве, удовлетворяющее неравенствам , где a - длина ребра гиперкуба.

Также можно определить гиперкуб как декартово произведение Ν равных отрезков.

Также можно сказать, что Ν-куб — это фигура, каждая вершина которой связана рёбрами с Ν другими вершинами; Ν, в свою очередь, определяет размерность этой фигуры. Или же, Ν-мерный куб образуется Ν парами параллельных (Ν-1)-плоскостей, то есть имеет 2Ν гиперграни, каждая из которых является (Ν-1)-кубом.

В пространстве R¹ – отрезок

В пространстве R² – квадрат

В пространстве R³ – куб

В пространстве R⁴ – Тессеракт

Задание 3

и как это рисовать!?!?!?!?!

Билет №7

Задание 1

см. билет 5!

Задание 2

так же билет 5!

задание 3

для случая a=1 и b=1

вид спереди

Вид сбоку

Билет №8

Задание 1

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A ^{− 1} такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:

AA ^{− 1} = E

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

+часть теории в билете 5

Пример

Найдите обратную матрицу для матрицы . Решение. Находим определитель Так как , то матрица  -- невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке: ( 14 .15) Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Задание 2

ну задачу как-нить сами сформулируете, а что касаемо данной..

как доказать чтио это плоскость? 0_о

а по поводу точки? То просто подставляем, находим t и t1 и у меня неполучилось таких, которые бы для всех уравнений работали, так что нет.

Билет №9

Задание 1

распределительность^{[источник?]} — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов :

 — дистрибутивность слева;

 — дистрибутивность справа.

Если операция × является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа совпадают.

Аддитивная и мультипликативные операции в кольцах и полях по определению удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Сочетательность — свойство любой операции , такое что для неё выполняется равенство:

для любых элементов .

Например, для умножения: .

переместительность:

для любых элементов .

а х\з выполняются или нет... проверять надо, апроверять лень....

Задание 2

Плоскость — двумерное подпространство в n-мерном, частный случай гиперплоскости (для 3-хмерного пространства)

Гиперплоскость — n-1 мерное подпространство в n мерном, частный случай подпространства

Подпространство — k-мерное пространство внутри n-мерного пространства (k<n)

Билет №10

Задание 1

Лень это делать, но, по идее тупо поперемножать (но не используя конкретные числа, а типа a₁₁ a₁₂ a₂₁ a ₂₂ и т.п.) и увидеть, что всё так =)

Задание 2

а х\з как это сделать

Билет №11

Задание 1

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке.

Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):

.

если я правильно понимаю, что такое линейная зависимость, то да, может

Пример:

Задание 2

Уравнение плоскости в отрезках

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Линейный оператор обладает совйством линейности, т.е. является обобщением числовой линейной функции на более широкое множество входных данных.

Не линейный оператор не обладает этим свойством, т.е. является обобщением числовой не линейной функции на более широкое множество входных данных.

условие линейности

f(x + y) = f(x) + f(y),

f(αx) = αf(x).

И пункт 3: неа, нелинеен нифига!

Билет №12

Задание 1

лине́йный опера́тор— обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений.

Лине́йным оператором на векторном пространстве L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

f(x + y) = f(x) + f(y),

f(αx) = αf(x).

для всех и .

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть  — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где x^k — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть  — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где  — j-я координата k-го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

 Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

Линейные операторы A и B действуют в 3-х мерном линейном пространстве X = {x| x = (x₁, x₂, x₃)} следующим образом:

A(x) = (2x₁, x₂ + 5x₃, − x₁), B(x) = (x₁− x₂, x₃ + x₂, 0) для всех x из X.

Матрицы операторов A и B имеют соответственно вид:

Задание 2

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Билет №13

Задание 1

см билет 12 + :

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор соответствующим собственным вектором линейного оператора , если они связаны между собой соотношением   .

Пусть матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где   единичная матрица, а нулевой элемент пространства . Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы , которое существует тогда и только тогда, когда   . Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве , имеет различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве ; этот базис называют собственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Задание 2

см билет 12.

+не могут все равняться одному числу!

Билет №14

Задание 1

а х\з

Задание 2

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

И неа, не равен он сумме слагаемых

Билет №15

Задание 1

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ [degrees of freedom] — 1. В анализе систем линейных уравнений — разность между числом независимых уравнений и числом неизвестных. Если число С. с. равно нулю, то система имеет единственное решение.

Задание 2

см. билет 14

Билет №16

Задание 1

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Да, можно найти.

Задание 2

Пусть φ и f - различные Л.О. векторного пространства V. Тогда φ+f - сумма линейных операторов φ и f. k·φ - умножение Л.О. на скаляр k. φ·f - произведение линейных операторов φ и f. Являюися также Л.О. вектороного пространства V.

Билет №17

Задание 1