Графическое представление

Точка в полярной системе координат.

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r (радиальная координата) и (угловая координата, полярный угол, азимут, иногда пишут θ или t). Координата r соответствует расстоянию до полюса, а координата равна углу в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называется полярной осью)[1].

Например, точка с координатами будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами будет нарисована на том же месте, поскольку отрицательное расстояние изображается в положительную в противоположном направлении (на 180°).

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка может быть представлена в виде или , где n — произвольное целое число[10].

Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём[11]. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений , а угол к интервалу или (в радианах или )[12].

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы[13].

Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = rcos φ,

y = rsin φ,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r² = y² + x² (по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

• Для , может быть произвольным действительным числом.

• Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал или .

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:[14]

Учитывая, что для вычисления полярного угла не достаточно знать отношение y к x, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.

Точка P имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где r — расстояние до начала координат, а θ и  — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Билет №23

Задание 1

ну тут надо плясать от системы, её видимо савватеев даст. Совместность : билет №1, билет №20

а касаем подпространства — я ниебу.

Задание 2

а х\з о чём тут говориться...

Задание 3

Если - угол поворота, x и y - первоначальные координаты точки, x₁ и y₁ - координаты той же точки в новой, повернутой системе координат, то имеют место формулы

и

Билет №24

а х\з как ту что делать....