- •Розділ 2 Прогнозування на основі часових рядів
- •2.1. Поняття часового ряду
- •2.2. Основні показники часових рядів
- •2.3. Розклад ряду динаміки на складові компоненти
- •2.4. Перевірка гіпотези про існування основної тенденції динаміки
- •А) Перевірка різниці середніх рівнів
- •Виробництво цукру-піску в Україні
- •Б) Перевірка методом Форстера - Стюарта
- •Динаміка виробництва цукру-піску в Україні
- •2.5. Вибір моделі основної тенденції
- •Розділ з Статистичні методи визначення трендів
- •3.1. Типи статистичних методів
- •3.2. Метод ковзної середньої
- •Закінчення табл.3.1
- •3.3. Метод найменших квадратів
- •Варіація внаслідок тенденції є різницею загальної й випадкової варіацій, тобто
- •Для лінійної функції дисперсії мають вигляд
- •3.4. Метод скінченних різниць
- •3.5. Прогнозування на підставі середніх значень
- •3.6. Прогнозування на основі екстраполяції тренду
- •3.7. Метод експоненціального згладжування (метод Брауна)
- •Розрахунок оцінок прогнозів
- •Динаміка виробництва сталевих труб в Україні, млн.Т
- •Розрахунок оцінок прогнозів
- •3.8. Метод гармонічних ваг
Варіація внаслідок тенденції є різницею загальної й випадкової варіацій, тобто
(3.20)
Для знаходження відповідних дисперсій число ступенів свободи визначають так:
для загальної дисперсії воно є на одиницю меншим від загальної кількості членів ряду динаміки;
для дисперсії внаслідок тенденції воно є на одиницю меншим від числа параметрів рівняння тренду;
для випадкової дисперсії його визначають як різницю загальної кількості рівнів ряду і числа параметрів рівняння згладжування.
Для лінійної функції дисперсії мають вигляд
(3.21)
Після обчислення дисперсій (необхідно визначити лише дисперсії внаслідок тенденції й випадкову) знаходять емпіричну статистику F- критерію:
(3.22)
Обчислену у такий спосіб статистику порівнюють з табличним значенням, знайденим при заданому числі ступенів свободи й вибраному рівні значущості α. Якщо виконується нерівність F > Fα, то вибране рівняння придатне для опису основної тенденції часового ряду; при цьому статистичний аналіз необхідно починати з найпростішого рівняння.
Приклад 1. За даними табл. 3.2 знайти закономірність зміни виробництва цукру-піску в Україні за 1970 - 1990 pp., коли основна тенденція динаміки описується прямою лінією.
Таблиця 3.2
Розрахунок тренду ряду динаміки методом найменших квадратів
-
Роки
Виробництво цукру-
Узагальнений
(ti’)2
yi tI’
піску yi, млн.т
час ti’
1
2
3
4
5
1970
5,97
- 10
100
- 59,70
1971
5,48
-9
81
- 49,32
1972
5,45
- 8
64
- 43,60
1973
6,22
- 7
49
- 43,54
1974
5,43
- 6
36
- 32,58
1975
6,04
- 5
25
- 30,20
-
1
2
3
4
5
1976
5,03
-4
16
- 20,12
1977
6,78
- 3
9
- 20,34
1978
6,90
-2
4
- 13,80
1979
5.94
- 1
1
-5,94
1980
5,30
0
0
0
1981
5,18
1
1
5,18
1982
6,61
2
4
13,22
1983
6,94
3
9
20,82
1984
6,87
4
16
27,48
1985
6,25
5
25
31,25
1986
6,66
6
36
39,96
1987
7,58
7
49
53,06
1988
6,13
8
64
49,04
1989
7,01
9
81
63,09
1990
6,79
10
100
67,90
Разом
130,56
0
770
51,86
Оскільки приріст рівнів даного ряду незначно коливається навколо сталої величини, тренд опишемо многочленом першого порядку (рівнянням прямої лінії):
Система нормальних рівнянь має вигляд
Якщо = 0, ця система значно спрощується. Запишемо формули для знаходження параметрів а0 і а1.
(3.23)
де ; при непарному пm- ціле число; а при парному - дробове.
Для нашого прикладу (п = 21)
Рівняння тренду, що описує закономірність зміни виробництва цукру-піску, має вигляд
yt = 6,217+0,067t.
Коли ряд динаміки має парне число спостережень, то для виконання рівності = 0 необхідно двом рівням на середині ряду присвоїти значення - 1 і 1, а далі - відповідно - З, - 5, - 7 тощо; 3, 5, 7 тощо.