- •Розділ 2 Прогнозування на основі часових рядів
- •2.1. Поняття часового ряду
- •2.2. Основні показники часових рядів
- •2.3. Розклад ряду динаміки на складові компоненти
- •2.4. Перевірка гіпотези про існування основної тенденції динаміки
- •А) Перевірка різниці середніх рівнів
- •Виробництво цукру-піску в Україні
- •Б) Перевірка методом Форстера - Стюарта
- •Динаміка виробництва цукру-піску в Україні
- •2.5. Вибір моделі основної тенденції
- •Розділ з Статистичні методи визначення трендів
- •3.1. Типи статистичних методів
- •3.2. Метод ковзної середньої
- •Закінчення табл.3.1
- •3.3. Метод найменших квадратів
- •Варіація внаслідок тенденції є різницею загальної й випадкової варіацій, тобто
- •Для лінійної функції дисперсії мають вигляд
- •3.4. Метод скінченних різниць
- •3.5. Прогнозування на підставі середніх значень
- •3.6. Прогнозування на основі екстраполяції тренду
- •3.7. Метод експоненціального згладжування (метод Брауна)
- •Розрахунок оцінок прогнозів
- •Динаміка виробництва сталевих труб в Україні, млн.Т
- •Розрахунок оцінок прогнозів
- •3.8. Метод гармонічних ваг
3.4. Метод скінченних різниць
Нехай заданий часовий ряд yt (t = 1, n) описується многочленом р-го порядку:
Для даного полінома можна обчислити скінченні різниці довільного степеня:
тощо.
Загальна формула для різниці р-го порядку має вигляд
Відомо, що (р + 1)-ша похідна многочлена р-го порядку дорівнює нулю в довільній точці. Звідси (р + 1)-ша різниця полінома р-го порядку дорівнює нулю, а скінченні різниці р-го порядку для даного многочлена набувають сталих значень. Таким чином, взявши р-ту різницю, ми тим самим виключаємо тренд, виражений поліномом р-то порядку.
Розглянемо частинні випадки (3.32). Нехай скінченні різниці першого порядку майже рівні (незначно відрізняються між. собою), а середнє арифметичне скінченних різниць другого порядку досить мале і ним можна знехтувати. Тоді у формулі, що виражає довільний рівень часового ряду через початковий рівень і скінченні різниці ,
візьмемо перші два члени: .
Згідно з формулою суми членів арифметичної прогресії
тому далі здобуваємо
Потім, використовуючи співвідношення
дістаємо
Звідси
де - середній рівень ряду динаміки; - середнє арифметичне скінченних різниць першого порядку; t - незалежна змінна (час).
Нехай майже рівними є скінченні різниці другого порядку. Тоді після аналогічних перетворень матимемо
де - середній рівень ряду динаміки; n - число рівнів ряду динаміки; - середнє арифметичне скінченних різниць другого порядку.
Метод скінченних різниць для знаходження параметрів тенденції порівняно з методом найменших квадратів не такий трудомісткий і потребує значно менше обчислень. Коефіцієнти тренду, визначені з допомогою методу скінченних різниць, мають чіткішу економічну інтерпретацію соціально-економічного явища (щодо встановлення швидкості й інтенсивності його розвитку).
Приклад 1. Знайти закономірність зміни виробництва цукру-піску в Україні методом скінченних різниць (табл.3.9).
Таблиця 3.9
Розрахунок тренду ряду динаміки методом скінченних різниць
Роки |
Виробництво |
Умовне позначення |
Скінченні різниці |
|
|
цукру-піску уi, млн.т |
часу ti. |
|
|
1970 |
5,97 |
-10 |
- |
- |
1971 |
5,48 |
-9 |
-0,49 |
- |
1972 |
5,45 |
-8 |
-0,03 |
0,46 |
1973 |
6,22 |
-7 |
0,77 |
0,80 |
1974 |
5,43 |
-6 |
-0,79 |
-1,56 |
1975 |
6,04 |
-5 |
0,61 |
1,40 |
1976 |
5,03 |
-4 |
-1,01 |
-1,62 |
1977 |
6,78 |
-3 |
1,75 |
2,76 |
1978 |
6,90 |
-2 |
0,12 |
-1,63 |
1979 |
5,94 |
-1 |
-0,96 |
-1,08 |
1980 |
5,30 |
0 |
-0,64 |
0,32 |
1981 |
5,18 |
1 |
-0,12 |
0,52 |
1982 |
6,61 |
2 |
1,43 |
1,55 |
1983 |
6,94 |
3 |
0,33 |
-1,10 |
1984 |
6,87 |
4 |
-0,07 |
-0,40 |
1985 |
6,25 |
5 |
-0,62 |
-0,52 |
1986 |
6,66 |
6 |
0,41 |
1,03 |
1987 |
7,58 |
7 |
0,92 |
0,51 |
1988 |
6,13 |
8 |
-1,45 |
-2,37 |
1989 |
7,01 |
9 |
0,88 |
2,33 |
1990 |
6,79 |
10 |
-0,22 |
-1,10 |
Середнє |
|
|
|
|
арифме |
|
|
|
|
тичне |
6,21 |
0 |
0,04 |
0,01 |
Дані табл.3.9 показують, що скінченні різниці першого порядку є практично рівними між собою, а середнє арифметичне скінченних різниць другого порядку досить мале і ним можна знехтувати. Отже, тенденцію даного ряду динаміки описуємо прямою лінією. Враховуючи, що і = 0,04, дістаємо = 6,21 + 0,04t.
Приклад 2. За методом скінченних різниць визначити тенденцію виробництва сталевих труб в Україні (табл. 3.10). Таблиця 3.10
Розрахунок тренду динаміки методом скінченних різниць
|
Виробництво |
Умовне |
Скінченні різниці |
||
Роки
|
сталевих труб |
позначення |
|
||
|
|
|
|||
|
, млн.т |
часу t. |
|||
1970 |
452 |
-10 |
- |
- |
- |
1971 |
484 |
-9 |
32 |
- |
- |
1972 |
505 |
-8 |
21 |
-11 |
- |
1973 |
513 |
-7 |
8 |
-13 |
-2 |
1974 |
532 |
-6 |
19 |
11 |
24 |
1975 |
554 |
-5 |
22 |
3 |
-8 |
1976 |
572 |
-4 |
18 |
-4 |
-7 |
1977 |
576 |
-3 |
4 |
-14 |
-10 |
1978 |
586 |
-2 |
10 |
6 |
20 |
1979 |
594 |
-1 |
8 |
-2 |
-8 |
1980 |
586 |
0 |
-8 |
-16 |
-14 |
1981 |
590 |
1 |
4 |
12 |
28 |
1982 |
580 |
2 |
-10 |
-14 |
-26 |
1983 |
606 |
3 |
26 |
36 |
50 |
1984 |
607 |
4 |
1 |
-25 |
-61 |
1985 |
605 |
5 |
-2 |
-3 |
22 |
1986 |
600 |
6 |
-5 |
-3 |
0 |
1987 |
604 |
7 |
4 |
9 |
12 |
1988 |
590 |
8 |
-14 |
-18 |
-27 |
1989 |
596 |
9 |
6 |
20 |
38 |
1990 |
597 |
10 |
1 |
-5 |
-25 |
Серед |
|
|
|
|
|
нє |
|
|
|
|
|
ариф |
|
|
|
|
|
метич |
|
|
|
|
|
не |
568,04 |
|
7,25 |
-1,63 |
0,33 |
Середнє арифметичне скінченних різниць третього порядку дорівнює 0,33 і наближається до нуля, а тому скінченні різниці другого порядку будемо вважати практично рівними між собою. Таким чином, основну тенденцію динаміки виробництва сталевих труб можна описати параболою другого порядку (3.34).
Після відповідних, обчислень дістаємо:
Серед показників динаміки, обчислених на підставі аналітичного вирівнювання, найпоширенішими є такі:
а) середньорічний приріст
б) середньорічне прискорення
в) темп зростання
де - рівні ряду динаміки; я- число рівнів ряду; t = 1,2,.., n;
b = 2 у рівнянні