- •I. Практическое занятие 1
- •1.1. Статические моменты.
- •I.I.I. Центр тяжести сложного сечения
- •1.1.2. Задачи для самостоятельного решения
- •I.2.I. Главные оси и главные моменты инерции
- •1.2.2. Вычисление моментов инерции сложных сечений
- •1.2.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Практическое занятие 2
- •2.1. Продольные силы
- •2.2. Напряжения, перемещения и деформации
- •2.3. Потенциальная энергия деформации
- •2.4. Пластичность материала
- •2.5. Расчет на прочность
- •2.5. Задачи для самостоятельного решения
- •2.7. Вопросы для самоконтроля
- •3. Практическое занятие 3
- •3.1. Основные понятия и определения
- •3.2. Внутренние силовые факторы
- •3.2.1. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил
- •3.2.2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
- •3.3. Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Вопросы для самопроверки
- •4. Практическое занятие 4
- •4.1. Чистый изгиб. Нормальные напряжения при изгибе
- •4.2. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе
- •4.3. Расчеты на прочность
- •4.4. Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Вопросы для самопроверки
- •5. Практическое занятие 5
- •5.1. Сдвиг
- •5.2. Кручение
- •5.2.1. Крутящий момент
- •5.2.2. Расчеты на прочность и жесткость
- •5.3. Задачи дли самостоятельного решения
- •5.4. Вопросы для самопроверки
- •6. Практическое занятие 6
- •6.1. Совместное действие кручения и изгиба
- •6.2. Совместное действие кручения, изгиба и растяжения (сжатия)
- •6.3. Задачи для самостоятельного решения
- •6.4. Вопроса для самопроверки
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
1.1.2. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.1. Для одного из сечений, показанных на рмс.1.7, 1.8, 1.9 определить положение его центра тяжести, учитывая симметрию сечения.
Рис. 1.9
Задача 1.2. Для одного из сечений, показанных на рис.1.10, определить положение его центра тяжести.
1 .2. Моменты инерции
Рис. 1.11
Осевыми моментами площади сечения называются выражения следующего вида
(1.8)
Интеграл вида
(1.9)
называется центробежным моментом инерции площади сечения относительно осей X и У.
Интеграл вида
Jp = (1.10)
называется полярным моментом инерции площади сечения.
Осевые и полярный моменты инерции связаны зависимостью
Jp = Jx+Jy (1.11)
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительные. Центробежный момент инерции может быть больше, меньше или равен нулю. Моменты инерции измеряются в см4,м4.
При параллельном переносе осей координат (рис. 1.11).
Jy = + A∙a2
Jx = + A∙b2
Jxy = + A∙a∙b
Jp = (1.12)
где , - соответствующие моменты инерции относительно центральных осей (начало координат в центре тяжести площади сечения), параллельных осям X и У ; а и b - расстояние между осями у и ус, х и хс; с0 - расстояние между началом координат системы Хс О Ус .
I.2.I. Главные оси и главные моменты инерции
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент площади сечения равен нулю, называются главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции.
Если же эти оси к тому же является центральными, то моменты инерции относительно них называются главными центральными.
Главные моменты инерции имеют экстремальные значения: один из них - максимальный Jmax, другой - минимальный Jmin и определяются по формуле
(1.13)
где Jх , Jу и Jху - осевые и центробежный моменты инерции относительно произвольно взятых осей х и у .
Знак «плюс» принимается при вычислении Jmax , "минус" - при вычислении Jmin.
При повороте осей на угол
Jy1 = Jycos2 + Jxsin2 -
(1.14)
Существует зависимость
Jmax+ Jmin = Jx + Jy = const (1.15)
Положение главных осей относительно произвольно взятых, определяется углом :
(1.16)
Пример 1.6. Определить осевые моменты сечения прямоугольной формы
(рис.1.12) относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения С.
Рис. 1.12
Решение. Выделим элемент площади dA = b∙dy на расстоянии у от оси X .
Тогда
Аналогично находим
Таким образом
(1.17)
Пример 1.7. Определить полярный и осевые моменты инерции круга радиуса R относительно его центра и центральных осей (рис. 1.13).
Решение. Выделим из круга элементарное кольцо толщиной dp, радиусом ρ и площадью dA = 2 ∙ dp
П олярный момент инерции элементарного кольца относительно центра круга О dJp = ρ2dAd
Подставляя значение dA интегрируя, получим
(1.18)
Так как для круга Jх = Jу и Jx + Jy = Jp, то
Jх = Jу = (1.19)
Пример 1.8. Определить осевые моменты инерции Jх и сечения треугольной формы (рис. 1.14).
Рис. 1.14
Решение. Выделим элементарную площадку с ординатой у и площадью dA = by∙dy. Из рис 1.14 видно, что
(1.20)
Используя выражение (1.20), находим
Из (1.21) находим
(1.21)