- •Содержание
- •1.Неопределённый интеграл и его свойства
- •Понятие о первообразной функции
- •Неопределенный интеграл и его свойства
- •1.3 Таблица основных неопределенных интегралов
- •1.4 Основные методы интегрирования
- •2 Определённый интеграл и его приложения
- •2.1 Понятие определенного интеграла
- •2.1.1 Задачи о площади криволинейной трапеции
- •Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •2.2 Основные теоремы об определенном интеграле
- •2.2.1 Теорема об оценке определенного интеграла
- •2.2.2. Теорема о среднем
- •2.2.3 Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его свойства
- •2.2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.3 Основные методы интегрирования
- •2.4 Приложение определенного интеграла
- •2.4.1 Площадь криволинейной трапеции
- •2.4.2 Длина дуги кривой
- •2.4.3 Площадь поверхности вращения
- •2.4.4 Объём тела
- •3 Несобственные интегралы
- •3.1 Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)
- •3.2 Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •4 Функции нескольких переменных
- •4.1 Функции нескольких переменных
- •П редел и непрерывность функции нескольких переменных
- •4.3 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •4.3.1 Частные производные первого порядка
- •4.3.2 Частные производные высших порядков
- •4.3.3 Дифференцируемость, полный дифференциал
- •4.3.4 Экстремум функции нескольких переменных
- •Метод наименьших квадратов
- •5 Понятие двойного и тройного интегралов
- •5.1 Двойной интеграл и его свойства
- •5.2 Тройной интеграл и его свойства
- •6 Числовые и функциональные ряды
- •6.1 Основные понятия и свойства числовых рядов
- •6.2 Сходимость числовых рядов
- •6.2.1 Сходимость рядов с положительными членами
- •6.2.2 Сходимость знакочередующихся рядов
- •6.2.3 Абсолютная и условная сходимость рядов
- •6.3 Функциональные ряды
- •6.4 Степенные ряды
- •7 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.1 Основные понятия
- •7.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •7.2.1 Уравнения с разделяющимися переменными
- •7.2.2 Однородные дифференциальные уравнения
- •7.2.3 Линейные дифференциальные уравнения
- •8 Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •8.1 Интегрируемые типы дифференциальных уравнений 2-го порядка
- •8.2 Случаи понижения порядка
- •8.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.3.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Высшая математика:
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
1.4 Основные методы интегрирования
К числу важных методов интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования; замены переменной; интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 1.4 неопределённого интеграла и использует таблицу основных неопределённых интегралов.
Пример 1.2. ò ( )dx = ò dx + ò dx - ò dx = ℓn + 2 + + C.
Пример 1.3. dx = dx = dx =
= dx + dx = tgx – ctgx + C.
Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.
Теорема 1.2. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), а х = (t) – дифференцируемая функция f((t))'(t) также имеет первообразную, причём
f((t))'(t)dt = F((t)) + C.
Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции
(F((t)))' = F'((t)) '(t) = f((t))'(t),
т. е. функция f((t))'(t) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F((t)). Следовательно,
f((t))'(t)dt = F((t)) + C.
Поскольку
F((t)) + C = F(х) + C = f(х)dх,
то
f(х)dх = f((t))'(t)dt. (1.1)
По формуле (1.1) осуществляется замена переменной в неопределённом интеграле.
Пример 1.4. sin(2 - 3x)dx = [2 – 3х = t, d(2 – 3x) = dt, -3dx = dt, dx = - dt] = = sint(- dt) = - sintdt = cost + C = cos(2 – 3x) + C.
Пример 1.5. =[ = t - x – подстановка Эйлера, t = x + ,
dt = (1 + )dx, dt = dx, dt = dx, = ] = =
= ℓnt+ c = ℓnx + + c.
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле
udv = u v ─ vdu ,
где u = u(x), v = v(x) ─ некоторые дифференцируемые функции.
Пример 1.6. хsin2xdx = [u = arctgx, dx = dv, du = (arctgx)'dx, du = dx,
v = x] = xarctgx ─ dx. Вычисляем последний интеграл dx =
=[t = 1 + x2, dt = 2xdx, xdx = dt] = dt = ℓnt+ C = ℓn1+x2+ C.
Теперь arctgxdx = x arctgx ─ ℓn1+x2+ C.
Пример 1.7. ex cosxdx = [u = ex, dv = cosxdx, du = exdx, v = cosxdx = sinx] = = exsinx ─ ex sinxdx = [ex = u, dv = sinxdx, du = exdx, v = -cosx] = exsinx +
+ excosx - cosx ex dx.
Итак, ex cosxdx = ex(sinx + cosx) ─ cosx ex dx,
2 cosx ex dx = ex(sinx + cosx),
cosx ex dx = ex(sinx + cosx) + C.
Вопросы для самоконтроля
1. Какая функция называется первообразной?
2. Что называется неопределенным интегралом oт данной функции?
3. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?
4. Назовите основные табличные интегралы.
5. В чем сущность метода непосредственного интегрирования?
6. В чем заключается метод замены переменной (метод подстановки)?
7. В чем заключается метод интегрирования по части?
2 Определённый интеграл и его приложения
2.1 Понятие определенного интеграла
2.1.1 Задачи о площади криволинейной трапеции
Р ассмотрим криволинейную трапецию (рисунок 2.1), т. е. плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком функции ( ), слева и справа ─ отрезками и прямых , снизу осью .
Отрезок [ ] точками = разобьём на n элементарных отрезков , , …, , длины которых обозначим через для k = 1,2,…,n. В каждом элементарном отрезке выберем произвольную точку и вычислим в ней значение данной функции f( ). Произведение f( ) выражает площадь прямоугольника с основанием и высотой f( ).
Составим сумму всех таких произведений
Sn = . (2.1)
Эта сумма называется интегральной суммой для функции на [ ] и выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников и приближённо заменяющей данную трапецию. Очевидно, что сумма Sk зависит от способа разбиения и выбора точек .
Обозначим через λ длину наибольшего из элементарных отрезков , k = 1,2,…,n, т.е. λ = max . Число S, вычисляемое по формуле
S = Sn = ,
называется площадью криволинейной трапеции.