1 Действительные числа
1.1 Логическая символика и терминология
Для сокращения записей будем использовать логические символы:
– принадлежит,
– содержится,
– любой, для любого,
каждый, для всех и т. п.,
– существует,
найдется,
: или | – заменяет слова «такой, что…»,
! – единственный,
–
знак следования
(в записи
условие А
называется
достаточным для В,
условие В
называется
необходимым для А),
–
знак равносильности
(означает, что
и при этом
),
■ – знак окончания доказательства.
1.2 Аксиоматика действительных чисел
В любой математической теории есть некоторое количество исходных понятий, которые нельзя определить через другие понятия. С помощью исходных понятий формируются несколько высказываний, которым приписываются значения истины. Их называют аксиомами. Приведем аксиомы действительных чисел.
I. Аксиомы сложения.
Каждой паре
действительных чисел
и
сопоставляется число
,
называемое суммой,
таким образом, что
1.1
(ассоциатив-ность);
1.2
элемент
:
(существование нейтрального элемента);
1.3
:
(существование противоположного
элемента, этот элемент обозначается
);
1.4
(коммутативность).
II. Аксиомы умножения.
Каждой паре
действительных чисел
и
сопоставляется число
,
называемое произведением,
таким образом, что
2.1
;
2.2
:
;
2.3
:
(существование обратного элемента);
2.4
.
III. Аксиомы порядка.
Во множестве R
установлено
соотношение, называемое отношением
порядка и обозначаемое
,
таким образом, что
3.1
;
3.2
или
;
3.3
и
(транзитивность);
3.4
и
(антисимметричность).
IV. Аксиомы связи.
4.1
(дистрибутивность);
4.2
;
4.3
и
.
V. Аксиома полноты (непрерывности).
Если X
и Y
– два непустых
множества, таких, что
и
,
то
:
.
О.
Разностью чисел
и
называется такое число х,
что
.
О.
Частным чисел
и
называется такое число х,
что
.
1.3 Точные грани числовых множеств
Пусть
.
О. Множество Х называется ограниченным сверху, если
:
.
Число с называется верхней гранью множества Х.
О. Множество Х называется ограниченным снизу, если
:
.
Число
называется
нижней гранью
множества Х.
О.
Множество Х
называется ограниченным,
если оно ограничено и сверху, и снизу,
т.е.
:
.
Утверждение
Множество Х
ограничено
тогда, и только тогда, когда
:
.
О.
Максимальным
элементом
множества Х
называется
такое число а,
что
:
.
О.
Минимальным
элементом
множества Х
называется
такое число а,
что
:
.
О. Множество Х называется не ограниченным сверху, если
:
:
.
О. Множество Х называется не ограниченным снизу, если
:
:
.
О. Множество Х называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.
О.
Точная верхняя
грань – это
наименьшая из всех верхних граней, т.е.
(супремум),
если
1)
;
2)
.
Или
.
О.
Точная нижняя
грань – это
наибольшая из всех нижних граней, т.е.
(инфинум),
если
1)
;
2)
.
Или
.
Замечание. 1)
Множество может не иметь максимального
элемента, но иметь точную верхнюю грань.
Например, таково множество
.
2) Если существует
максимальный элемент множества Х,
то он совпадает с
.
3) Если множество
Х не
ограничено сверху, то
,
если Х не
ограничено снизу, то
.
Теорема о существовании точной верхней грани Если множество Х ограничено сверху, то оно имеет, причем единственную, точную верхнюю грань.
Доказательство.
1) Обозначим Y
– множество всех верхних граней множества
Х.
Тогда
,
.
По аксиоме полноты,
.
Из правой части неравенства следует,
что
.
Тогда
(как минимум из множества всех верхних
граней).
2) Допустим, что
существуют числа
и
,
которые являются точными верхними
гранями множества Х
.
Если
–
,
– верхняя грань, то
.
Если
–
,
–
верхняя грань, то
.
По аксиоме 3.4
порядка,
.
Значит, – единственное число. ■