- •Содержание
- •1.Неопределённый интеграл и его свойства
- •Понятие о первообразной функции
- •Неопределенный интеграл и его свойства
- •1.3 Таблица основных неопределенных интегралов
- •1.4 Основные методы интегрирования
- •2 Определённый интеграл и его приложения
- •2.1 Понятие определенного интеграла
- •2.1.1 Задачи о площади криволинейной трапеции
- •Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •2.2 Основные теоремы об определенном интеграле
- •2.2.1 Теорема об оценке определенного интеграла
- •2.2.2. Теорема о среднем
- •2.2.3 Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его свойства
- •2.2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.3 Основные методы интегрирования
- •2.4 Приложение определенного интеграла
- •2.4.1 Площадь криволинейной трапеции
- •2.4.2 Длина дуги кривой
- •2.4.3 Площадь поверхности вращения
- •2.4.4 Объём тела
- •3 Несобственные интегралы
- •3.1 Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)
- •3.2 Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •4 Функции нескольких переменных
- •4.1 Функции нескольких переменных
- •П редел и непрерывность функции нескольких переменных
- •4.3 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •4.3.1 Частные производные первого порядка
- •4.3.2 Частные производные высших порядков
- •4.3.3 Дифференцируемость, полный дифференциал
- •4.3.4 Экстремум функции нескольких переменных
- •Метод наименьших квадратов
- •5 Понятие двойного и тройного интегралов
- •5.1 Двойной интеграл и его свойства
- •5.2 Тройной интеграл и его свойства
- •6 Числовые и функциональные ряды
- •6.1 Основные понятия и свойства числовых рядов
- •6.2 Сходимость числовых рядов
- •6.2.1 Сходимость рядов с положительными членами
- •6.2.2 Сходимость знакочередующихся рядов
- •6.2.3 Абсолютная и условная сходимость рядов
- •6.3 Функциональные ряды
- •6.4 Степенные ряды
- •7 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.1 Основные понятия
- •7.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •7.2.1 Уравнения с разделяющимися переменными
- •7.2.2 Однородные дифференциальные уравнения
- •7.2.3 Линейные дифференциальные уравнения
- •8 Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •8.1 Интегрируемые типы дифференциальных уравнений 2-го порядка
- •8.2 Случаи понижения порядка
- •8.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.3.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Высшая математика:
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
2.4.1 Площадь криволинейной трапеции
Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции на равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу осью .
Пример 2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой и осью (рисунок 2.2.).
Р ешение. .
Более сложные задачи на вычисление площадей, решают, используя свойство аддитивности площади: можно разбить фигуру на непересекающиеся криволинейные трапеции и вычислить площадь всей фигуры как сумму площадей этих частей.
Пример 2.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рисунок 2.3.).
Решение. = .
Если на заданы две непрерывные функции и , причём при всех значениях верно ; то площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу графиком функции , слева и справа прямыми , , вычисляется по формуле .
Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и (рисунок 2.4.).
Решение. Найдём точки пересечения графиков данных функций:
, .
, .
Тогда =
= = .
2.4.2 Длина дуги кривой
П усть плоская кривая задана уравнением , где непрерывная на функция. Если производная также непрерывна на , то длина дуги данной кривой (Рисунок 2.5.) вычисляется по формуле
.
Пример 2.8. Вычислить длину дуги полукубической параболы от до (рисунок 2.6.).
Р ешение. Найдём . Тогда = = , при , при = = = = = .
2.4.3 Площадь поверхности вращения
П усть кривая задана уравнением , , и пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на . Тогда поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси (рисунок 2.7), имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле:
.
Если же поверхность получается вращением кривой , заданной уравнением , , вокруг оси , то площадь такой поверхности вычисляется по формуле .
П ример 2.9. Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии друг от друга, называется шаровым поясом высоты . Вычислить площадь шарового пояса высоты , если радиус шара равен (рисунок 2.8).
Р ешение. Поверхность шарового пояса можно рассматривать как поверхность, полученную при вращении дуги окружности , где , , вокруг оси (Рисунок 2.9.). Так как , то .
Тогда = = = . В частности, если , то получаем площадь поверхности сферы .
2.4.4 Объём тела
Р ассмотрим некоторое тело и вычислим его объём . Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси . С изменением меняется и площадь сечения, т. е. площадь сечения является некоторой функцией . Если эта функция непрерывна на , то объём тела .
В частности, если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии , где (рисунок 2.10), то и получаем формулу .
Если же тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной дугой линии , , то его объём
.
Пример 2.10. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , (рисунок 2.11).
Р ешение.
= =
= = = .
Вопросы для самоконтроля
1. Укажите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Что называется определенным интегралом от данной функции на данном отрезке?
3. Каков геометрический смысл определенного интеграла от данной функции y = f(x) на отрезке [a, b] в системе декартовых координат?
4. Сформулируйте простейшие свойства определенного интеграла.
5. Сформулируйте теорему о среднем в интегральном исчислении.
6. В чем заключается теорема об оценке определенного интеграла?
7. Чему равна производная от интеграла по его верхнему пределу?
8. Напишите формулу Ньютона — Лейбница.
9. В чем состоит метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле?
10. В чем состоит метод интегрирования по частям в определенном интеграле?
11. Как вычисляется площадь плоской фигуры в системе прямоугольных координат?
12. Как вычисляется длина дуги в прямоугольной системе координат?
13. Напишите формулу для вычисления площади поверхности вращения.
14. Напишите формулу для вычисления объема тела.