Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:

аналитическая геометрия в пространстве

и начала анализа

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО

для студентов экономических специальностей вуза

Гомель

ГГУ им. Ф. Скорины

2011

УДК 512 : 514.123.1(076)

ББК 22.1 я73

В 937

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук А. И. Рябченко;

кафедра алгебры и геометрии УО «Гомельский государственный

университет им. Ф. Скорины»

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

В 937

Высшая математика: аналитическая геометрия в пространстве и начала анализа : практическое руководство / А. В. Бузланов, Е. Н. Бородич, Р. В. Бородич, Т. В. Бородич; М-во образования РБ, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. – Гомель : ГГУ им. Ф. Скорины, 2011. – 48 с. ISBN 978-985-439-592-0

В практическом руководстве рассматриваются теоретические проблемы аналитической геометрии в пространстве; предел функции; производная и дифференциал функции. Даются примеры, задания, вопросы для самостоятельного изучения и самоконтроля.

Адресовано студентам экономических специальностей вуза.

УДК 512 : 514.123.1(076)

ББК 22.1 я73

ISBN 978-985-439-592-0 © Бузланов А. В., Бородич Е. Н.,

Бородич Р. В., Бородич Т. В., 2011

© УО «Гомельский государственный

университет им. Ф. Скорины», 2011

Содержание

Введение ……………………………………………………………. 1 Элементы аналитической геометрии в пространстве ………….	4 5
2 Линейные пространства………………………………...……….…	14
3 Предел функции…………………………………………………....	17
4 Теоремы о пределах функций………………………………..…...	23
5 Непрерывность функций……………………………………..…...	27
6 Производная и дифференциал функций……………………..…..	30
7 Основные теоремы дифференциального исчисления …….…….	36
8 Исследование функций………………………………..…….…….	41
Литература…………………………………………………………	47

Введение

Математика – одна из самых древних наук. Основные особенности математики – абстрактность, логическая строгость, исключительная широта её приложений. Абстракция свойственна не только математике. Но если в других науках для доказательства утверждений исследователи постоянно обращаются к опыту, то в математике справедливость утверждения доказывается не проверкой его на примерах, а логическим путём рассуждений и строгих математических выкладок. Без применения математических методов была бы невозможна современная техника. Точные науки (астрономия, механика, физика, химия) развивают свои теории, используя математический аппарат, их прогресс был бы немыслим без математики. Наиболее значительным научным достижением было внедрение математических методов в экономическую науку. Эффективное управление экономическими процессами может быть осуществлено, только на основе применения точных математических методов во всех сферах народного хозяйства – от прогнозирования размещения полезных ископаемых до изучения спроса на товары широкого потребления и бытовые услуги, от изучения потребности в рабочей силе до планирования транспортных артерий, пассажирских перевозок и т. д. Современный экономист, финансист, бухгалтер должен не только знать основы математики, но и хорошо владеть новейшими математическими методами исследования, которые могут применяться в области его деятельности.

1 Элементы аналитической геометрии в пространстве

1.1 Плоскость в пространстве

Определение 1.1. Уравнением поверхности в заданной системе координат в пространстве называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.

Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка. Мы рассмотрим поверхности 1-го и 2-го порядков.

1.1.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно данному вектору

П усть дана точка М₀(х₀; у₀; z₀) и ненулевой вектор = (А, В, С). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно указанному вектору (рисунок 1.1). В таком случае вектор называют нормальным вектором плоскости.

П

Рисунок 1.1

усть М(х; у; z) – произвольная точка плоскости. Так как вектор = (х – х₀; у – у₀; z – z₀) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т. е.

= 0.

Тогда А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0. (1.1)

Получили искомое уравнение.

1.1.2 Общее уравнение плоскости

Раскроем скобки в уравнении (1.1):

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0,

Ах + Ву +Сz + (–Ах₀ – Ву₀ – Сz₀) = 0.

Обозначим через D = –Ах₀ – Ву₀ – Сz₀ . Получаем уравнение

Ах + Ву +Сz + D = 0, (1.2)

которое называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

1. D = 0. Уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат;

2. С = 0. В этом случае нормальный вектор (А; В; 0) перпендикулярен оси Оz. Поэтому плоскость Ах + Ву + D = 0 параллельна оси Оz;

3. С = 0, D = 0. С учётом п.1) и п.2) плоскость Ах + Ву = 0 проходит через ось Oz;

4. В = 0, С = 0. В этом случае нормальный вектор (А; 0; 0) перпендикулярен плоскости Oyz. Поэтому плоскость Ах + D = 0 параллельна оси Oyz;

5. В = 0, С = 0, D = 0. Плоскость Ах = 0 или х = 0 определяет координатную плоскость Oyz.

Аналогично рассматриваются всевозможные другие случаи.

1.1.3 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки пространства М₁(х₁; у₁; z₁), М₂(х₂; у₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), не лежащие на одной прямой. Пусть М(х; у; z) – произвольная точка этой плоскости (х – х₀; у – у₀; z – z₀), (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁), (х₃ – х₁; у₃ – у₁; z₃ – z₁) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Следовательно, искомое уравнение

= 0. (1.3)

1.1.4 Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть даны две плоскости

А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А₁; В₁; С₁), вторая плоскость (А₂; В₂; С₂).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т. е. =  для некоторого числа . Поэтому

– условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на  = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т. е. = 0 или

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.