Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования

на правах рукописи

Б Ы Х О В Ц Е В В. Е.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Курс лекций

для студентов специальности Н.08.01.00 –«Прикладная математика»

Гомель – 2011

Содержание

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ……………………….4

1.1 Физические системы и методы их исследования …………………………………….4

1. Основные определения и понятия……………………………………………………..4

1.1.2 Системы деформируемых твёрдых тел………………………………………………..5

1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел……………………7

1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел……...….12

1.2 Разностные схемы для основных уравнений математической физики…………….15

1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация…….................15

2. Разностная аппроксимация основных производных….............................................15

3. Общий принцип метода сеток…………………..……………………………………17

4. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем…...........................18

2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20

2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений

эллиптического типа …………………………………………………………………20

2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений

эллиптического типа………………………………………………………………….20

2. О задаче Дирихле…………………..............................................................................20

3. Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа…………………….22

4. Разностная аппроксимация граничных условий………………...............................23

1. Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле

для уравнения Пуассона……………………………………………………………..24

2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона……………………...24

2. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле

для уравнения Пуассона. Принцип максимума …………………………………….24

2.3 Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге….25

2.4 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений

параболического типа. Решение задачи Коши ….....................................................26

5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений

гиперболического типа……………….........................................................................28

1. Общая постановка задачи…………………………………………………………….28

2. Решение задачи Коши……………………………………...........................................29

3 МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ………………...30

3.1 Физические предпосылки метода конечных элементов…………………………….30

3.2 Деформации твёрдых тел………………………...........................................................30

3.2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел…………………………………………30

3.2.2 Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел………………………………………33

3.3 Прикладные вопросы метода конечных элементов…………………………………35

3.3.1 Основная концепция метода конечных элементов………………………………….35

3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области…………….................................35

3.3.3 Метод конечных элементов в теории упругости……………………………………………36

3.4 Построение конечно - элементных соотношений

для плоской задачи линейной теории упругости…………………………………………...37

3.5 Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования

состояния пространственных систем линейной теории упругости………………..40

6. Свойства матрицы жёсткости…………........................................................................44

7. Аналитический алгоритм метода суперэлементов…………………………………..45

3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЁРДЫХ ТЕЛ И ИХ СИСТЕМ …..............................48

4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных

математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем………………48

4.2 Итерационные численные методы…………………………………………………….49

4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей

деформируемых твёрдых тел и их систем……………………………………………50

4. Сравнительный анализ эффективности методов исследования нелинейных

математических моделей систем деформируемых твёрдых тел. . .…………………52

5 ОСНОВЫ МЕТОДОЛОГИИ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-

ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ТЕЛ…………………………………………54

5.1 Основные понятия и определения……………………………………………………..54

5.2 Построение виртуальной физической модели системы……………………………...54

5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании систем механики грунтов...55

5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве фундаментов………………….56

6 ТЕХНОЛОГИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЁРДЫХ ТЕЛ………………….63

6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного

моделирования систем деформируемых твёрдых тел………………………………...63

6.2 Интерфейс визуального ввода данных…………………………………………….......63

7. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-

ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И ОСАДОК

СТРОИТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ КАК ТРЁХМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ТЕЛ……………………………………………………………...67

0. Структура программного обеспечения объектно-ориентированного

моделирования системы деформируемых твёрдых тел………………………………67

7.2 Технология объектно-ориентированного программирования………………………..67

7.3 Программный комплекс «Энергия - 2Д » моделирования

двумерных систем механики грунтов………………………………………………....70

7.4 Программный комплекс «Энергия - ОС » моделирования

осесимметричных задач механики грунтов…………………………………………..74

7.5 Программный комплекс «Энергия - 3Д » моделирования

систем механики грунтов в трёхмерном пространстве………………………………78

8 ВЕРИФИКАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ТЕЛ….……….82

8.1 Методологические аспекты верификации…………………………………………...82

8.2 Верификация технологии и программного обеспечения

моделирования двумерных систем механики грунтов……………………………...82

8.3 Верификация технологии и программного обеспечения

моделирования осесимметричных задач механики грунтов………………………..87

8.4 Верификация технологии и программного обеспечения

моделирования систем механики грунтов в трёхмерном пространстве…………...89

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………………………….92

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ……………………………….………………………....93