Лекция 1. Основные понятия теории вероятности

Основы знаний об окружающем мире у человека закладываются с младенчества. Именно тогда он на примерах усваивает основные понятия и формулирует правила поведения в этом мире, позволяющие ему выжить и избежать большинства неприятностей.

В школе начинается подробное изучение явлений природы, но для удобства усвоения все явления расклассифицированы на отдельные науки. Так выделяют определенный круг вопросов и называют его "физикой", другие группы явлений – "арифметикой", "геометрией" и т.д. Теорию вероятностей начинают изучать относительно поздно, чаще всего уже после окончания школы, когда у человека сформировалось критическое мышление. Приступая к изучению нового для него раздела знаний, учащийся (студент) ожидает, что ему сначала будут даны строгие определения всех новых понятий нового для него раздела науки. И тут оказывается, что основные понятия любой науки только называются, демонстрируются на примерах и устанавливается иерархия соподчинения; строгие же определения отсутствуют. Даже в такой науке, как математика, изначально считаются известными такие понятия как "точка", "прямая", "плоскость"; определений этих основополагающих понятий нет. Соподчиненность устанавливается фразами типа: "На прямой лежат точки". Ученик обычно не задает лишних вопросов, ему и так кажется все понятным.

Приведем показательный пример из физики. Ни в одной книге, как в учебной так и научной, нельзя найти определения температуры, хотя всем как будто бы понятно, что это такое. В терминологическом словаре АН СССР по этому поводу сказано буквально следующее: "Температура – это средняя кинетическая энергия молекул в хаотическом движении". Тут одно непонятное слово "температура" заменено другим непонятным словом "энергия". Положение еще больше запутывается, если учесть, что прибор, который называется термометром, никакую температуру не измеряет, он измеряет изменение объема тел (ртути, спирта, разных металлов) при нагревании.

Теория вероятностей – полноценная наука, поэтому ее основные понятия только называются и демонстрируются на примерах. По большому счету, они нам уже известны. В некоторых учебниках пытаются дать определения понятий теории вероятности, но этого не стоит делать – слишком много бесполезных пояснений снижает уровень понимания (то, что было ясным, становится непонятным после многословных пояснений).

Нам изначально известны понятия "испытание", "случайное событие"; далее появится "случайная величина" и "случайная функция". Соподчиненность устанавливается фразой: "При испытаниях происходят события". Примеры: при броске монеты ("испытание") может выпасть герб ("событие Г"), или решка ("событие Р"); студент явился на экзамен (українською мовою "іспит") и получил неудовлетворительную оценку (очень неприятное событие).

Любой взрослый человек, никогда специально не изучавший теорию вероятности, правильно ответит на вопрос: "Какова вероятность выпадения герба при броске монеты"; более того, немного подумав, он даже обоснует, почему эта вероятность равна 0,5. Любой человек правильно объяснит разницу между вероятностью выпадения герба (0,5) и вероятностью (0,8) поражения мишени метким стрелком – при повторении испытаний стрелок чаще попадает, чем промахивается, а при броске монеты герб и решка появляются с одинаковой частотой. Можно попросить его сформулировать, что же такое "вероятность" и, в конце концов, мы получим ответ:

Вероятность – это число, которое показывает, как часто происходит событие (А) при испытаниях. Это число изменяется в пределах 0  р_А  1 или (в процентах) 0  р_А  100% . Если р_А = 0, событие А является невозможным, невероятным, оно никогда не происходит, сколько бы не повторять испытания. Если, наоборот, р_А = 1, то событие А обязательно произойдет в каждом испытании, иными словами, такое событие не является случайным, его называют "детерминированным", "достоверным".

Предложено обозначать невозможные события символом , тогда р_ = 0. Детерминированные события предложено обозначать символом , тогда р_ = 1. Объект  называют еще "пространством всех событий" и "универсумом". Все остальные события, для которых 0 < р_А < 1, – случайные, вероятностные.

Отсюда следует такой универсальный способ определения (в смысле "вычисления") вероятности (статистическое или "стохастическое" определение вероятности). Производят испытания n раз и фиксируют, сколько раз при этом появилось событие А; число появления события называется частотой m. Относительная частота ("частость") изменяется от 0 до 1 и показывает, как часто появлялось событие при n испытаниях. Ожидается, что с увеличением числа испытаний это отношение приближаться к некому пределу – вероятности события А:

.

Как правило, эти ожидания оправдываются, например, при испытаниях с бросками монеты, игральной кости и т.п. Однако бывают также неприятные эффекты – при длительных испытаниях изнашивается инструмент, стареет агрегат, улетучиваются легкие фракции, т.е. с каждым испытанием изменяются условия проведения опыта. В этих случаях (нарушение однородности) способ статистических испытаний, естественно, не применим.

Иногда возможны иные способы определения вероятностей без проведения длительных испытаний. К ним относится способ назначения вероятности из геометрических соображений и "классический способ" вычисления вероятности, использующие наличие равновероятности некоторых исходов испытания. Оба эти способы будут рассмотрены ниже. Они не являются универсальными и имеют вполне определенную область применения.

Когда невозможны ни один из вышеупомянутых способов, применяют способ экспертных оценок. Группа экспертов обсуждает вероятности неких начальных простых событий, а вероятности более сложных последствий уже рассчитываются на основе известных теорем теории вероятности.

К стати, эквивалентными являются названия: "событие", "случайное событие", просто "случай" ("казус"), "исход испытания", "результат опыта".

Рассмотрим геометрическое представление событий и геометрический способ определения вероятности. На рис. 1.1 изображены два события А и В в виде неких геометрических фигур (диаграмм Венна). Обе фигуры расположены в прямоугольнике, который представляет собой универсум (пространс­тво всех событий, достоверное событие) . Расположение и форма фигур определяется конкретными условиями задачи. Если все точки универсума – равновероятны, то площади фигур будут пропорциональны вероятностям изображенных событий. Действительно, представим себе метереологический столик (прямоугольник ), на котором стоят ванночки А, В. Какова вероятность того, что капли дождя попадут в ванночку А? Поскольку предполагается, что капли дождя падают на столик равномерно, доля капель, попавших в ванночку А, будет пропорциональна только ее площади, но не ее формы и расположения на столике.

Если нам удалось построить геометрические изображения событий, то вероятности событий можно получить как отношения площадей изображенных фигур к площади универсума :

.

Пример 1. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться в определенном месте в период от 12⁰⁰ до 13⁰⁰ и ждать друг друга не более четверти часа (15 мин). Какова вероятность, что встреча состоится?

О бозначим через х – время прихода 1-го студента в условленное место, а через у – время прихода 2-го студента. Согласно условиям задачи, 0  х  1, 0  у  1, что геометрически определяет квадрат со стороной 1.

Это – универсум, пространство всех равно­возможных комбинаций времени прихода студентов на место встречи. Встреча состоится, если | x – y |  0,25. Сформулированное неравенство можно переписать в виде системы

у   х + 0,25

у  х – 0,25

которая определяет область, изображенную на рис. 1.2.

Площадь этой области S = 1 – 20,50,75² = 1 – 0,5625 = 0,4375 равна искомой вероятности, т.к. площадь универсума (квадрата) равна единице.

События, изображенные на рис. 1.1 – несовместные, их области не пересекаются.

Несовместные события не могут появиться в одном испытании.

Иногда нам не важно, какое именно событие А или В появится, в обоих этих случаях мы получим ожидаемый результат (не важно, в какую именно ванночку попадают капли дождя, далее будет подсчитываться общий объем собранной воды). Нас интересует вероятность события (А или В), которое обозначается АВ или А+В (операция объединения множеств). Из рис. 1.1 видно, что при вычислении вероятности р(А+В) площади непересекающихся фигур надо складывать. Таким образом, геометрически проиллюстрировано утверждение: "Вероятность появления одного из несовместных событий (любого) равна сумме их вероятностей". Это утверждение называется аксиомой сложения вероятностей:

Р(А+В) = р_А + р_В ,

А, В – несовместные.

К сожалению аналогия между логической операцией объединения множеств и арифметической операцией сложения чисел породила жаргонную терминологию "сумма событий".

Н а рис. 1.3 изображены совместные события (их области пересекаются).

Совместные события могут появиться одновременно в одном испытании.

Событие (А и В) – операция пересечения –обозначается АВ или просто АВ (последнее обозначение породило жаргонную терминологию "произведение событий). На рис. 1.3 ему соответ­ствует общая зона, принадлежащая одновременно и А, и В. Этот же рисунок позволяет обосновать утверждение: "Вероятность появления одного из событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления": Р(А+В) = р_А + р_В – р_АВ . Для несовместных А, В р_АВ = 0. Это более общее утверждение н азывается теоремой сложения вероятностей. Действительно, пусть на метереологическом столике ванночки А и В расположены на двух уровнях, поэтому одна ванночка перекрывает другую. После испытания вода из обеих ванночек будет учитываться вместе, поэтому неважно, в какую именно ванночку попадают капли дождя. Тогда вероятность того, что капли дождя попадут в ванночки, будет пропорцио­нальна площади общей затушеванной области, которая равна сумме площадей области А и дополнительной части области В без уже учтенной области АВ.

На рис. 1.4 изображены противоположные события А и (не А). Противоположные события образуют "полную группу событий" – их объединение дают универсум: А+ = . Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Для обозначения вероятности противопо­ложных событий часто используется обозначение q_A = , тогда всегда будет p + q = 1.

События А, В, С составляют полную группу, если при испытании одно из них обязательно произойдет: (А+В+С) = . Если эти события несовместные, то сумма их вероятностей будет равна единице р_А + р_В + р_С = 1 (рис. 1.5).

Успех в решении многих задач теории вероятностей зависит от нашего умения представить исходы испытания в виде полной группы несовместных событий (этот прием будет подробно рассмотрен в дальнейшем).

П ереходим к изложению так называемого "классического способа определения вероятностей". Этот способ имеет достаточно ограниченную область применения. Название "классический" способ закрепилось исторически, поскольку ученые – основоположники теории вероятностей – сначала изучали события, связанные с азартными играми, которые в отличие от жизненных ситуаций, имеют специфические особенности – в них все определено заранее. Несмотря на внешнее разнообразие, многие игры можно свести к одной – извлечению шаров из урны.

На рис. 1.5 изображена такая урна, в которой имеется n = 9 шариков, одинаковых по размерам и неразличимых на ощупь. Шарики помечены различными признаками, так, среди изображенных шариков имеется m = 4 белых (А), k = 3 черных (В) и l = 2 синих (С). Шарики извлекаются из урны по одному в случайном порядке. Какова вероятность извлечь черный шар? Синий шар? Какова вероятность извлечь окрашенный шар? На все эти вопросы даже неподготовленный человек обычно дает правильные ответы:

Фактически используется формула и утверждение, что верояность появления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей указанных событий. Однако, из этих двух утверждений одно является следствием другого. Строго доказать сразу оба утверждения невозможно, одно из них следует принять за исходный постулат (аксиому). Предлагается принять за аксиому утверждение р_А+В = р_А + р_В , если АВ =  (аксиому сложения вероятностей). Мы убедились в справедливости аксиомы сложения для частного случая геометрической вероятности, она представляется очевидной и для частной задачи извлечения шаров из урны; теперь же мы считаем, что это исходное утверждение справедливо всегда и не требует доказательства.

В задачах, решаемых классическим методом, исходы испытания представлены набором "элементарных исходов" _i.

Элементарные исходы – равновероятные, несовместные и составляют полную группу: p(_i) = p(_j) = p_ , _i_j = , ₁ + ₂ + … + _n = .

В задаче с урной каждый шарик является элементарным исходом. Действительно, поскольку шарики одинаковы по размерам и неразличимые на ощупь, вероятность извлечь любой из них будет одна и та же; шарики извлекаются по одному, в урне нет ничего кроме шариков.

Теперь мы можем легко найти вероятность каждого элементарного исхода. Применим аксиому сложения к утверждению ₁ + ₂ + … + _n =  и получим р(₁ + ₂ + … + _n) = р(₁) + р(₂) + … р(_n) = np_ = p() = 1, т.е. np_ = 1. Отсюда имеем p_ = ¹/_n . Например, при броске монеты имеем два элементарных исхода (Герб и Решка), поэтому вероятность выпадения герба равна р_Г = ¹/₂ . При броске однородной кости имеем шесть элементарных исходов (I, II, III, IV, V, VI), поэтому вероятность выпадения шестерки равна p_VI = ¹/₆ .

При некоторых элементарных исходах появляется то или иное событие (А, В, С, …), например, А = ₁ + ₂ + ₃ + ₄ , В = ₃ + ₅ + ₆ , С = ₄ . С помощью аксиомы сложения можно найти вероятности этих событий:

р(А) = р(₁ + ₂ + ₃ + ₄) = р(₁) + р(₂) + р(₃) + р(₄) = 4p_ = ⁴/_n .

В общем случае получаем формулу , где n – общее число элементарных исходов, а m_A – число элементарных исходов, при которых появляется событие А.

Принятие аксиомы сложения позволяет доказать некоторые утверждения, не ссылаясь ни на геометрический, ни на классический способ определения вероятностей. Так, покажем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Действительно, противополож­ные события составляют полную группу несовместных событий: . Отсюда р( ) = р(А) + р( ) = p + q = 1, т.е. p + q = 1.

Вернемся к задаче с урной (рис. 1.5). Какова вероятность при втором извлечении достать белый шар? Если после каждого извлечения шар возвращается в урну и шары перемешиваются, то вероятность появления белого шара остается одной и той же p_A = ^m/_n = ⁴/₉ (вероятность события А не зависит ни от номера испытания, ни от того, какой шар был извлечен ранее). Но если после извлечения шар в урну не возвращается, то после каждого испытания мы имеем дело уже с другим набором шаров в урне. Вероятность события А теперь зависит от того, какие шарики были извлечены ранее. Таким образом, мы можем вычислить только, так называемую, условную вероятность события А, где учтено, какие события произошли до этого испытания. Так, можно вычислить вероятность того, что при втором извлечении появится белый шар, если перед этим также был извлечен белый шар: p(A|A) = ³/₈  (общее количество шаров уменьшилось n₂ = 9 – 1 = 8, уменьшилось также количесто белых шариков m₂ = 4 – 1 = 3). Вероятность того, что при втором извлечении появится белый шар, если перед этим был извлечен черный шар: p(A|В) = ⁴/₈  (количество белых шариков не изменялость m₂ = 4). Вероятность того, что при третьем извлечении появится синий шар, если перед этим было извлечено два синих: р(С|СС) = ⁰/₇ = 0 (общее количество шаров уменьшилось на два n₃ = 9 – 2 = 7, количество синих шаров также уменьшилось на два l₃ = 2 – 2 = 0).

В обозначении условной вероятности условие (например, информация, что произошло в предшествующих испытаниях) записывается после вертикальной черты. При совместных событиях АВ   иногда требуется найти вероятность появления признака В среди объектов с признаком А; это также условная вероятность p_B|A = p(B|A). 

При вычислении вероятностей классическим способом используются сведения из комбинаторики.

Пример 2. На 5-и карточках изображены буквы А, Р, С, Т, Т. Какова вероятность, что при случайном извлечении карточек (без возвращения) появится слово СТАРТ?

Общее количество возможных комбинаций находим следующими рассуждениями: на первой карточке может оказаться любая из 5-и букв, на второй – любая из оствшихся 4-х, на третьей – из оставшихся 3-х, на четвертой – из 2-х, на пятой – одна последняя буква. Возможные буквы 1-й карточки сочетаются с любыми возможными буквами остальных карточек, поэтому все эти числа надо перемножить. Таким образом, общее число равновозможных комбинаций (элементарных исходов) здесь равно n = 54321 = 5! = P₅ – числу перестановок. Из этих комбинаций нас устраивают две (в слове СТАРТ можно взаимно переставлять одинаковые буквы Т), отсюда m = 2 и р_СТАРТ = ²/_5! = ¹/₆₀ .

Пример 2. Кроме 5-и карточек с буквами А, Р, С, Т, Т добавлено еще 3 каточки с буквами Б, В, Г (всего 8 карточек). Какова вероятность, что при случайном извлечении 5-и карточек появится слово СТАРТ?

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, получаем n = 87654. Это число называется числом размещений и может быть представлено в виде отношения двух факториалов: , где N – общее количество объектов (карточек), К – число позиций (число извлеченных карточек). Для нашего случая n =  , m = 2 и р_СТАРТ = ²/₆₇₂₀ = ¹/₃₃₆₀ .

Пример 3. До сих пор был важен порядок расположения карточек в комбинациях. Если порядок не важен, то появляется число сочетаний.

Н а рис. 1.6 в большой урне находится N = 9 шаров, из которых M = 4 белых, K = 3 черных и L = 2 синих. Случайным образом отбирается n = 4 шарика. Какова вероятность, что малой партии будет m = 2 белых, k = 1 черных и l = 1 синих шариков?

Поскольку при любых перестановках набор шаров в малой партии не изменяется, то общее число комбинаций при извлечении n шариков из N будет равно . При вычисле­нии вероятности это число будет в знаменателе дроби. В малую партию отбирается m белых шариков из М, что можно сделать способами, k черных шариков из К ( способов) и l синих шариков из L ( способов). Всего необходимых способов отбора шариков в малую партию будет – это числитель формулы классического определения вероятности:

.

Для нашего примера

.

Если в урне только два вида шариков (m + k = n), формула упрощается:

.