9 Паралельний резонансний контур

Паралельний резонансний контур  резонансний контур, що складається з iндуктивного та ємнiсного елементiв, злучених паралельно (рис.9.1а). Опiр витiкання конденсатора може бути перерахований у послiдовно злучений опiр (рис.9.1б). Так само, як i для послiдовного контуру, параметри R, L, C вважаються первинними параметрами паралельного контуру, причому активний опiр дорiвнює сумi опорiв котушки та конденсатора при послiдовному обходi: .

а) б)

Рисунок 9.1

Позначимо опори паралельних вiток , та знайдемо еквiвалентний опiр паралельного контуру

.

Поблизу резонансної частоти доданки та дорiвнюють характеристичному опору . Оскiльки для резонансного контуру виконується спiввiдношення , , доданками i у чисельнику можна знехтувати:

. (9.1)

За визначенням, резонанс у колi спостерiгається, якщо опiр кола є чисто активним. Це стає можливим, якщо .

Знайдемо вториннi параметри паралельного контуру.

1. Резонансна частота: .

2. Характеристичний опiр: .

3. Добротнiсть: , .

4. Еквiвалентний резонансний опiр

; ; .

9.1 Частотнi характеристики повного опору паралельного контуру

Аналогiчно послiдовному контуру повний опiр паралельного резонансного контуру визначається як модуль комплексного вхiдного опору, який позначено вище . Згiдно з формулою (9.1)

, (9.2)

де  реактивний опiр,  узагальнена розстройка.

Запишемо у показниковiй формi:

, (9.3)

де  модуль , або повний опiр контуру;

 аргумент , або фазова характеристика.

Знайдемо активну та реактивну складовi опору :

,

звiдки ; . (9.4)

Графiки частотних залежностей, якi побудовано за (9.3)  (9.4), зображено на рис.9.2. Проаналiзуємо цi графiки. Вид кривих , та безпосередньо випливає з аналiтичного запису.

а) б)

Рисунок 9.2

Розглянемо докладніше графiк : 1) в областi малих розстроєк , , тобто це пряма з вiд'ємним нахилом; 2) при ; 3) в областi великих розстроєк , тобто це гiпербола; 4) при , отже на низьких частотах характер реактивностi визначає iндуктивна вiтка; при , отже на частотах характер реактивностi опору визначається ємнiстю.

9.2 Струми та напруги у паралельному контурi.

Векторна дiаграма струмiв

Розглянемо паралельний контур виду (рис.9.1б). Знайдемо струми вiток , та напругу на контурi , вважаючи вiдомим струм загальної вiтки . Розрахунок зробимо для комплексних дiючих значень.

За законом Ома ; ; .

На частотi резонансу виконуються спiввiдношення: ; . Тодi резонанснi значення струмiв та напруги будуть такими: ;

; . (9.5)

Оскiльки дiюче (амплiтудне) значення струмiв у вiтках контуру в Q разiв перевищує дiюче (амплiтудне) значення струму в загальнiй вiтцi, резонанс у паралельному контурi зветься резонансом струмiв.

Отже, резонанс струмiв  явище резонансу на дiлянцi електричного кола, що має паралельно злученi iндуктивний та ємнiсний елементи.

Вiдповiдно до знайдених виразiв на рис.9.3 наведено векторну дiаграму струмiв i напруги у паралельному контурi.

а) б)

Рисунок 9.3

Дiаграма (рис.9.3а) зображена для випадку, коли . У такому разi фазовi кути та близькі до значення 90, але не дорiвнюють йому: ; . Загальний струм за величиною вельми малий, а за фазою збiгається з напругою . При резонансi виконується спiввiдношення . Струм називають струмом контуру.

Векторна дiаграма (рис.9.3б) вiдповiдає iдеальному контуру без втрат ( ), який настроєно в резонанс. У такому випадку струми та точно дорiвнюють один одному i протилежнi за фазою: . Тому струм у нерозгалуженiй дiлянцi кола дорiвнює нулю. Але при цьому в самому контурi циркулює струм .

9.3 Резонанснi кривi паралельного контуру

Перейдемо вiд отриманих вище частотних характеристик вхiдного опору (9.3) до характеристики напруги на контурi. Будемо вважати, що дiюче значення струму, який живить контур, незмiнне: . Така ситуацiя еквiвалентна живленню контуру генератором струму ( , ). Комплексне дiюче значення напруги на контурi: .

Якщо , напруга на контурi залежить вiд частоти так само, як вхiдний опiр (з точнiстю до постiйного коефiцiєнта). Тодi резонансна крива напруги на контурi буде такою: .

Рiвняння резонансних кривих струмiв знаходимо з виразiв (9.5) за умови, що добротнiсть контуру достатньо висока ( , ):

; ;

; .

9.4 Вплив внутрiшнього опору генератора та опору навантаження

на вибiрнi властивостi паралельного контуру

За реальних умов, коли контур живиться реальним генератором, струм I змiнюється iз змiною напруги на контурi. Це може суттєво вплинути на вигляд частотних характеристик. У цьому випадку для дослiдження вибiрних властивостей контуру доцiльно замiнити джерело живлення еквiвалентною схемою з iдеальним джерелом струму (рис.9.4).

Коло (рис.9.4б) можна розглядати як деякий контур, що шунтується активним опором i живиться в точках 1-1' незмiнним струмом .

Якщо опiр , який увiмкнено паралельно контуру, перерахувати у послiдовний опiр , добротнiсть еквiвалентного контуру (праворуч точок 1-1') становитиме

, (9.6)

де .

а) б)

Рисунок 9.4

Еквiвалентна добротнiсть залежить вiд власної добротностi та вiд спiввiдношення опору i внутрiшнього опору генератора (або опору навантаження , або та разом). Iз зменшенням ( ) еквiвалентна добротнiсть зменшується, тобто смуга пропускання збiльшується: .

Рiвняння резонансної кривої напруги з урахуванням впливу ( ) матиме вигляд:

.

Ця характеристика наближається до iдеальної резонансної кривої (9.6) лише при . Якщо ж і контур живиться від джерела напруги з ЕРС E, напруга на контурi взагалi не залежить вiд частоти, вона залишається рiвною значенню ЕРС джерела E [6].

Отже, на вiдмiну вiд послiдовного контуру, використання паралельного резонансного контуру доцiльно з точки зору вибiрностi тiльки в тому разi, коли внутрiшнiй опiр генератора струму достатньо великий ).

9.5 Складний паралельний контур

Схема паралельного резонансного контуру може бути подана в узагальненому виглядi (рис.9.5а). Для резонансної частоти повинна виконуватися умова

. (9.7)

У схемi (рис.9.5б), яку було розглянуто вище, до однiєї вiтки ( ) входить iндуктивнiсть, а до iншої ( )  ємнiсть. Така схема зветься контуром першого виду (або контуром з повним увiмкненням, або простим паралельним контуром). Загалом опори та можуть являти собою тi чи iншi сполучення iндуктивностей та ємностей. Але вони повиннi складати схему так, щоб виконувалася умова резонансу (9.7).

а) б) в) г)

Рисунок 9.5

На рис.9.5в наведено варiант схеми, в якiй одна вiтка мiстить тiльки iндуктивнiсть , а iнша  iндуктивнiсть та ємнiсть C. Таку схему називають контуром другого виду або контуром з розподiленою iндуктивнiстю. В контурi третього виду (з розподiленою ємнiстю) (рис.9.5г) до однiєї вiтки увiмкнено тiльки ємнiсть , а до iншої  ємнiсть та iндуктивнiсть L. Контури другого та третього видiв звуться також складними або контурами з частковим увiмкненням.

Знайдемо вхiдний (еквiвалентний) опiр складного контуру

.

Для контурiв з високою добротнiстю . Тодi

.

Обчислимо еквiвалентний резонансний опiр. Оскiльки при виконується умова (9.7), матимемо:

,

де  активний опiр паралельного контуру при послiдовному обходi;  реактивний опiр вiтки, яка мiстить реактивнiсть одного характеру.

Позначимо величину  коефiцiєнт увiмкнення i запишемо вираз для еквiвалентного резонансного опору складного контуру:

. (9.8)

Знайдемо формули для розрахунку резонансної частоти та коефiцiєнта увiмкнення для контурiв другого i третього видiв.

1. Контур II виду. Резонансна частота визначається з формули (9.7):

, звiдки маємо:

, (9.9)

де  повна iндуктивнiсть контуру.

Знаючи резонансну частоту, знаходимо коефiцiєнт увiмкнення:

.

2. Контур III виду. Формула (9.7) є справедливою i в цьому разi:

. Отже, резонансна частота становитиме:

, (9.10)

де  повна ємнiсть контуру.

Коефiцiєнт увiмкнення дорiвнюватиме:

.

Оскiльки коефiцiєнт увiмкнення менший одиницi, робимо висновок, що часткове увiмкнення дозволяє у разiв зменшити резонансний опiр паралельного контуру порiвняно з повним увiмкненням.

9.6 Частотнi характеристики повного опору складних

паралельних контурiв

Характерною рисою складних паралельних контурiв є те, що поряд з резонансом струмiв у контурi можливi резонанси напруг у вiтках. Тому на вiдмiну вiд простого контуру, частотна залежнiсть повного опору складного контуру має два екстремуми (рис.9.6а вiдповiдає контуру другого, а рис.9.6б  контуру третього виду).

а) б)

Рисунок 9.6

Для контуру II виду частота паралельного резонансу визначається за формулою (9.9): , а частота послiдовного резонансу  за формулою: .

З цих спiввiдношень видно, що оскiльки , то .

Для контуру III виду за формулою (9.10) знаходимо:

; .

Оскiльки , то .

Висновок. Частотнi характеристики складного контуру дозволяють використовувати його для пропускання сигналiв одних частот та послаблення сигналiв iнших частот.

9.7 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Чому резонанс в паралельному контурі називається резонансом струмів? Зобразити векторну діаграму струмів при резонансі.

2. Як залежать від частоти модуль і аргумент еквівалентного комплексного опору паралельного контуру?

3. Параметри паралельного контуру (рис.9.5б) Ом, Ом, мкГн, пФ. Обчислити резонансну частоту і повний опір контуру. Розрахувати струми віток і потужність, яка виділяється в контурі при резонансі, якщо напруга на контурі становить 200 В.

Відповідь: 10⁷ Рад/с, 100 кОм, 200 мА; 0,4 Вт.

4. Знайти смугу пропускання паралельного контуру з характеристичним опором 800 Ом і опором втрат 16 Ом з урахуванням впливу опору генератора кОм. Резонансна частота контуру 700 кГц.

Відповідь: 42 кГц.

5. Визначити добротність, ємність, резонансну частоту, узагальнену і абсолютну розстройку, за якої еквівалентний опір простого паралельного контуру кОм, що становить 0,78 від значення резонансного ( Ом, мГн).

Відповідь: , нФ, кГц; .

6. Чому дорівнює резонансний опір складного паралельного контура? Як визначається коефіцієнт увімкнення?

7. Чому частотна залежність повного опору складного контура має два екстремуми? Як визначити частоти паралельного і послідовного резонансів для контуру другого виду, третього виду?

8. Паралельний контур другого виду (рис.9.5в) з Ом, Ом, мкГн, мкГн, пФ, увімкнений до джерела ЕРС з внутрішнім опором кОм. Визначити власну добротність контура Q, еквівалентну добротність , а також діапазон частот, за яких повний опір контура перевищує 10 кОм.

Відповідь: , ; 298…303,6 кГц.

9. Знайти частоти послідовного і паралельного резонансів для паралельного контуру третього виду (рис.9.5г), якщо Ом, Ом, мкГн, пФ; пФ.

Відповідь: кГц; кГц.