Тема 5: Средние величины и показатели вариации

5.1 Понятие о средних величинах

5.2. Виды средних и способы их вычисления

5.3 Показатели вариации

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя величина - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики. Средние величины дают сводную характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно организованного массового наблюдения. Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д. Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак. Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Задачи применения метода средних:

- характеристика уровня развития явлений;

- сравнение двух или нескольких уровней;

- изучение взаимосвязей социально-экономических явлений;

- анализ социально-экономических явлений в пространстве.

Общая средняя – это средняя рассчитанная по совокупности в целом. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления.

Групповая средняя - средние исчисленные для каждой группы. Групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Виды средних и способы их вычисления

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, кубическая, хронологическая и т.д.

Данные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях k):

где х - среднее значение исследуемого явления;

k – показатель степени средней;

n – число признаков;

х – текущее значение осредняемого признака.

В зависимости от значения показателя степени k различают следующие виды степенных средних

при k= -1 - средняя арифметическая;

при k=0 - средняя геометрическая;

при k=1 - средняя гармоническая;

при k=2 - средняя квадратическая;

при k=3 - средняя кубическая.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в формуле (), тем больше значение средней вели­чины:

Данное свойство степенных средних возрастать с повышени­ем показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорности средник.

Только одно истинное значение среднего показателя может отразить характер имеющихся данных. Поэтому вид сред­ней выбирается в каждом случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности. .

Помимо степенных средних в статистической практике используются средние структурные ( мода и медиана).

Средняя арифметическая

Самый распространенный вид средних – арифметическая, применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности представляет собой сумму значений признаков отдельных ее единиц. Общест­венные явления характеризуются аддитивностью т.е. суммарностью объе­мов варьирующего признака - это определяет область при­менения средней арифметической и объясняет ее распро­страненность. Так, например: общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников, валовый сбор урожая - сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме от­дельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда име­ются несгруппированные индивидуальные значения признака):

Пример Имеются следующие данные о заработной плате рабочих участка (табл. ).

Таблица №

Профессия	Количество рабочих	Заработная плата каждого рабочего за сентябрь, руб.
Токари	5	4700; 4208; 1917; 3620; 4400
Фрезеровщики	2	3810; 4550
Слесари	3	5210; 3380; 1870

Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих уча­стка.

Решение

Процесс выбора средней таков:

• определяющий показатель - общая сумма начисленной за­работной платы;

• математическое выражение определяющего показателя - ∑х;

• замена индивидуальных значений средними - ∑х = п • ;

• решение уравнения.

₌ 4700 +4208 +1917 +3620 +4400 [phone] +5210 [phone] =

=37 665 = 3766,5 руб. 10

10

Следовательно, использовалась формула простой средней арифметической.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинако­вые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппиро­ванных величин х₁, х₂; х₃; х_п — вычисляется по формуле:

= х1f1+x2f2+....+xnfn = ∑xf

f1+f2+...+fn ∑f

где f1,f2,...,fn – веса (частоты повторения одинаковых признаков)

∑xf – сумма произведений величины признаков на их частоты;

∑f – общая численность единиц совокупности

Рассмотрим технику вычисления средней арифметической взве­шенной на примере.

Определить среднюю выработку рабочего за смену, если известно:

Таблица №