Завдання на лабораторну роботу:

1. Стандартний синусоїдальний сигнал з частотою, що дорівнює номеру бригади, апроксимувати за допомогою:

а) Лінійних поліномів 1, 3, 5, 7 ступенів;

б) Дробно-раціональних функцій 1-го порядку;

в) Дробно-раціональних функцій 2-го порядку.

2. Проробити ті самі перетворення зі стандартним прямокутним сигналом.

3. Проробити ті самі перетворення зі стандартним трикутним сигналом.

4. В протоколі привести отримані графіки та аналітичні залежності.

5. Зробити висновки по проробленій роботі.

Приклад виконання роботи:

Приклад апроксимації прямокутного сигналу з частотою 1 Гц за допомогою лінійних поліномів 1,3,5,7 ступенів. Отриманий графік:

Контрольні запитання:

1. Якій меті слугує задача про наближення(апроксимації) функцій?

2. Поясніть зміст точкової апроксимації.

3. Поясніть терміни „інтерполяція” та „екстраполяція”.

4. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для довільних вузлів.

5. Запишіть формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів.

6. Інтерполяційна формула Ньютона.

Лабораторна робота №2 дослідження ряду фур’є (дослідження апроксимації сигналів використовуючи ряд Фурє)

Мета: Вивчити спектри найпростіших сигналів

Програмне забезпечення: NUMERI

Теоретичні відомості

В ряд Фур’є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен задовольняти умови Дирихлє:

• Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність);

• Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним;

• Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin(1/x) в околі нуля).

В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур’є.

Синусно-косинусна форма:

В цьому варіанті ряд Фур’є має наступний вигляд:

(2.1)

Тут - кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти , що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частота називається k - ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти ряду та розраховуються за формулами:

,

.

Константа розраховується за загальною формулою для . Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:

.

Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (від до ). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т – результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи від –Т до 0.

Якщо є парною функцією, то всі будуть рівними нулю і в формулі ряду Фур’є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо ж є непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнти і в формулі залишаться тільки синусні складові.