Дійсна форма:
Деяка
незручність синусно-косинусної форми
ряду Фур’є полягає в тому, що для кожного
значення індексу додавання
(тобто
для кожної гармоніки з частотою
)
в формулах фігурують два доданки –
синус і косинус. Скориставшись формулами
тригонометричних перетворень, суму цих
двох доданків можна трансформувати в
косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою
та деякою початковою фазою:
(2.2)
Якщо
є парною функцією фази
можуть приймати тільки значення 0 та
,
а якщо
- функція непарна, то можливі значення
для фази рівні
.
Комплексна форма:
Дана
форма представлення ряду Фур’є найбільш
часто використовується в радіотехніці.
Вона одержується з дійсної форми
представлення косинуса у вигляді
напівсуми комплексних експонент (таке
представлення витікає з формули Ейлера
:
.
Застосувавши дане перетворення до дійсної форми ряду Фур’є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними та від’ємними показниками:
.
А
тепер будемо трактувати експоненти зі
знаком «мінус» в показнику як члени
ряду з від’ємними номерами. В рамках
цього ж загального підходу постійна
складова
стане членом
ряду з нульовим номером. В результаті
отримаємо комплексну форму запису ряду
Фур’є:
(2.3)
Комплексні
коефіцієнти ряду пов’язані з амплітудами
і фазами
,
що фігурують в дійсній формі запису
ряду Фур’є (2.2), наступними неважкими
співвідношеннями:
,
,
.
Неважко виглядають і формули зв’язку з коефіцієнтами та синусно-косинусної форми ряду Фур’є (2.1):
,
,
.
Звідси
зразу ж слідує формула безпосереднього
розрахунку коефіцієнтів
ряду Фур’є в комплексній формі:
(2.4)
Якщо
є парною функцією, коефіцієнти
ряду
будуть тільки дійсними, а якщо
- функція непарна, коефіцієнти ряду
виявляться тільки уявними.
Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур’є часто називають амплітудним спектром, а сукупність їх фаз – фазовим спектром. Ці поняття не слід плутати з амплітудно- та фазочастотними характеристиками, які відносяться не до сигналів, а до кіл.
Якщо аналізує мий сигнал є дійсним, то його амплітудний та фазовий спектри володіють симетрією:
,
,
Завдання на лабораторну роботу:
1. Аппроксимувати стандартний прямокутний сигнал з частотою, що дорівнює номеру бригади, рядом Фур’є з кількістю гармонік:
а) 2 гармоніки;
б) 4 гармоніки;
в) 8 гармонік.
Примітка: першу гармоніку вибрати за частотою, що співпадає з частотою сигналу.
Записати амплітуди гармонік з точністю до двох значущих цифр. Результати апроксимації одного сигналу різною кількістю гармонік представити на одному графіку, для чого використовувати сервісні підпрограми. Повторити даний дослід з тим самим початковим сигналом, але зміщеним за фазою на 90 градусів. Проаналізувати розподілення амплітуд парних та непарних гармонік.
2. Проробити ті самі перетворення зі стандартним трикутним сигналом.
3. Проробити ті самі перетворення зі стандартним синусоїдальним сигналом
4. В протоколі привести отримані графіки та математичні залежності.
5. Зробити висновки по проробленій роботі.