§ 5 . Функції в економіці.Задача Паретто.

Функції знаходять широке застосування в економічній теорії і практиці. Спектр функцій, що застосовуються в економіці доволі великий, від найпростіших лінійних до функцій, які отримують за спеціальними алгоритмами за допомогою так званих рекурентних співвідношень, які пов’язують стан досліджуваних об’єктів в різні періоди часу.

Поряд з лінійними, використовують нелінійні функції, такі як дробово-лінійні (гіперболічні), степеневі (квадратна, кубічна і т.д.) показникові (експоненціальні), логарифмічні та інші функції. Періодичність, коливання ряду економічних процесів дозволяє також використовувати тригонометричні функції.

Розглянемо функції, що найчастіше зустрічаються в економіці.

Функція корисності (функція переваг)- в широкому розумінні це залежність корисності (ефекту деякої дії, від рівня інтенсивності цієї дії.

Виробнича функція – це функція залежності результату виробничої діяльності від певних факторів, що обумовлюють цю діяльність.

Функція випуску (окремий вид виробничої функції)- це функція залежності об’єму виробництва від наявних чи використаних ресурсів.

Функція витрат (окремий вид виробничої функції)- це функція залежності витрат виробництва від об’єму продукції.

Функція попиту,споживання і пропозиції-це функції залежності об’єму попиту (споживання, пропозиції) на окремі товари чи послуги від різних факторів (наприклад: ціни, доходи ...)

Враховуючи, що економічні явища і процеси обумовлюються дією різних факторів, для їх досліджень широко використовуються функції багатьох змінних серед таких функцій окремо виділяються мультиплікативні функції, які дозволяють виразити залежну змінну у вигляді добутку факторних змінних, що будуть перетворювати залежну змінну Y в нуль при припиненні дії хоча одного з факторів.

Використовуються також сепарабельні функції, які дають змогу виділити вплив різних факторів змінних на залежну змінну, і зокрема, адитивні функції, що представляють одну й ту саму залежну змінну як при сумарному, але відокремленому впливі всіх незалежних змінних так і при одночасному впливі декількох факторів.

Функції декількох змінних будуть розглядатись далі в розділі “Диференціальне числення”.

Задача Паретто.

Перші роботи по економіці з’явились наприкінці XІX початку XX століття. У 1897 р. з’явилась робота одного з засновників математичної школи в економічній теорії В.Паретто, яка присвячувалась статистичному вивченню доходів (прибутків) населення в різних країнах. Італійський економіст Паретто сформулював теорему про розподіл доходів у капіталістичному суспільстві. Була запропонована крива Паретто y = А(x-a)^-α , де

х- величина прибутків.

у - кількість людей, що мають доходи (прибутки).

а - мінімальний доход (прибуток).

A і α - параметри які отримують статистичними методами.

Функції такого виду отримують при розрахунках з процентами (складними) коли знаходять початкову суму за процентною ставкою, строку та кінцевою сумою, тобто при дисконтуванні. Та при деяких інших розрахунках.

Якщо через у позначити число осіб, що мають дохід не менше х, то

де a і m – сталі величини.

Закон Паретто достатньо точно описує розподіл дуже “високих” доходів; тоді як для низь ких доходів він не справджується .Нехай у деякому суспільстві розподіл доходів визначається рівнянням