Методичні вказівки для виконання завдань. Завдання № 1

1). Моделювання потоку викликів пожежно-рятувальних підрозділів в місті.

Кількість викликів «N» за якими пожежно-рятувальні підрозділи виїжджали протягом часу t=1 рік, визначається по початкових даних:

N=n₁+n₂+n₃+n₄

Послідовність випадкових моментів викликів пожежно-рятувальних підрозділів в місті створює потік подій, що має важливу характеристику інтенсивності потоку «λ» (щільність потоку) за одиницю часу:

Математичною моделлю потоку подій, що описує розподілення імовірностей виникнення тої чи іншої кількості подій на інтервалі часу визначеної довжини, є закон розподілення Пуассона. Згідно до цього закону імовірність Р_к() того, що на інтервалі часу протягом «» виникне рівно «R» подій, визначається за формулою:

(К=0, 1, 2, 3…)

При використанні даної формули розмірності одиниць вимірювання часу «  » і « » повинні бути погоджені.

Імовірності Р_к() (к=0, 1, 2, ...) для інтервалу часу фіксованого періоду «  », пов’язані між собою співвідношенням:

З цієї формули випливає: імовірності того, що на інтервалі часу «  » виникає кількість подій, яка не перевищує задане число «К» і перевищує число «К», пов'язані між собою співвідношенням

визначаються за формулами:

2) Моделювання тривалості часу зайнятості пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів в місті.

При здійсненні опису імовірності розподілення випадкової величини _обс тривалості часу зайнятості пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів за допомогою показового закону розподілення необхідно визначити значення параметру « μ » (інтенсивність потоку «звільнень» підрозділів від обслуговування викликів):

Імовірність того, що тривалість часу зайнятості підрозділів обслуговуванням виклику _обс буде менша або більша від даного значення «  » знаходять за формулами:

Р{_обс<₂}=1-е^-μ₂

Р{_обс≥₃}=1- Р{_обс≥₃}=е^-μ₃

Імовірність знаходження значення випадкової величини t_обс в заданих межах ₂≤_обс<₃ визначається за формулою:

Розмірності величин μ та  повинні бути погоджені

3) Математичне моделювання процесу виникнення одночасних викликів пожежно-рятувальних підрозділів в місті.

Можливий стан пожежно-рятувальних підрозділів міста позначаємо Е₀, Е₁, Ез, … - пронумеруємо за кількістю викликів, обслуговуванням яких зайняті підрозділи. В довільний момент часу підрозділи міста можуть знаходитися лише в одному стані Е_m (m=0, 1, 2, ...). Можливі переходи із стану Е_m до стану Е_m-1 у випадку «звільнення» підрозділів від обслуговування одного з m викликів, або до стану Е_m+1, якщо виникає ще один виклик. Процес виникнення одночасних викликів має випадковий характер і йому властиві імовірні закономірності.

Імовірність Р_m того, що в довільний момент часу підрозділи знаходяться у стані Е_m одночасного обслуговування m викликів, визначається за формулою:

Де а - приведена щільність потоку викликів.

Розмірність одиниць вимірювання за часом повинна бути погоджена.

З метою послідовних визначень імовірності Р₀, Р₁, P₂, … використовують рекурентні формули:

Число f_m випадків, що очікуються на протязі одиничного відрізка часу, коли при виникненні чергового виклику виникає необхідність в одночасному обслуговуванні того чи іншого числа m викликів визначається за формулою:

Між значеннями Р_m та f_m мають місце наступні співвідношення, які можуть бути використані для перевірки правильності розрахунків: