- •Умови завдань на курсову роботу
- •Варіанти для рішення завдання № 1
- •Завдання № 2
- •Варіанти для рішення завдання № 2
- •Завдання № з
- •Варіанти для рішення завдання № з
- •Завдання № 4 Організація Державної пожежної охорони
- •Методичні вказівки для виконання завдань. Завдання № 1
- •1). Моделювання потоку викликів пожежно-рятувальних підрозділів в місті.
- •2) Моделювання тривалості часу зайнятості пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів в місті.
- •3) Математичне моделювання процесу виникнення одночасних викликів пожежно-рятувальних підрозділів в місті.
- •4) Математичне моделювання процесу зайнятості пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів.
- •Приклад № 1.
- •1) Моделювання потоку викликів пожежно-рятувальних підрозділів в місті.
- •2) Моделювання тривалості часу зайнятості працівників пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів.
- •3) Математичне моделювання процесу виникнення одночасних викликів підрозділів пожежної охорони в місті.
- •4) Математичне моделювання процесу зайнятості підрозділів пожежної охорони обслуговуванням викликів.
- •1)Моделювання варіанту 1 побудови системи телефонного зв’язку як системи масового обслуговування з відмовами.
- •2)Модеювання варіанту 2 побудови системи телефонного зв’язку як системи масового обслуговування з чергою.
- •3)Порівняльний аналіз 1–го та 2–го варіантів побудови системи телефонного зв’язку.
- •Приклад № з
- •Література
2) Моделювання тривалості часу зайнятості працівників пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів.
З статистичних даних середній час зайнятості пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів в місті обс=0,70 год./виклик. Визначаємо параметр - інтенсивність потоку „звільнень ” підрозділів від обслуговування міста:
Імовірність того, що випадкова величина обс буде менша за 2 = 0,6 год., визначаємо за формулою:
Імовірність того, що величина обс перебільшує 3 = 1,5 год.:
Імовірність того, що величина лежить в межах від = 0,6 год. до = 1,5 години:
З розрахунків зрозуміло, що для 57,6 % викликів в місті час зайнятості підрозділів буде менше за 0,6 години; для 45,89 % - від 0,6 до 1,5 год.; для 2,4 % викликів – більше 1,5 год.
3) Математичне моделювання процесу виникнення одночасних викликів підрозділів пожежної охорони в місті.
За даними = 0,0675 викл./ год.;
= 0,7 год./ викл.
Визначаємо параметр - приведену щільність потоку викликів:
Розрахунок імовірностей того, що в будь – який момент часу підрозділи міста знаходились в стані одночасного обслуговування викликів;
- кількість випадків на рік, що очікуються, коли при виникненні чергового виклику виникає необхідність в одночасному обслуговуванні викликів:
Висновок: Дійсно, маємо імовірність виникнення в місті двох одночасних викликів пожежно-рятувальних підрозділів. Такі випадки можуть виникати 27 разів протягом року ( ), а їх загальний час 0,6 % часу ( ) – приблизно 55,2 годин на рік. Виникнення трьох одночасних викликів ( ), їх загальний час – 0,002 % часу ( ) – приблизно 0,535 години на рік.
4) Математичне моделювання процесу зайнятості підрозділів пожежної охорони обслуговуванням викликів.
Визначаємо імовірність того, що для обслуговування виклику треба залучити ту чи іншу кількість r відділень:
Розрахунок імовірності того, що в довільний момент часу обслуговуванням виклику в місті буде одночасно зайнято оперативних відділень для = 0, 1, 2, 3, ... :
Визначаємо імовірність того, що кількості відділень буде недостатньо для обслуговування викликів:
Визначемо загальну кількість відмов в обслуговуванні викликів, а також кількість повних відмов і кількість часткових відмов :
Проведені розрахунки зводимо до таблиці:
Відмови |
Кількість відмов за рік при числі К оперативних відділень пожежної охорони у місті |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Всього |
103,7989274 |
|
|
|
|
Повні |
33,85245796 |
|
|
|
|
Часткові |
69,94646944 |
|
|
|
|
За результатами розрахунків треба зробити висновки про необхідну кількість відділень на автоцистерні. Скільки по викликам на рік треба буде залучати на виїзд у місто додаткові відділення.
Завдання № 2
Система телефонного зв'язку розглядається як система масового обслуговування. Каналом обслуговування є оператор (диспетчер) разом з лінією зв'язку, по якій він здійснює прийом повідомлень (кожен оператор може здійснювати прийом повідомлення по будь-якій лінії зв'язку).
Кількість каналів обслуговування n у варіантах системи масового обслуговування, що розглядається, є:
для варіанта 1: n = D1 = L1;
для варіанта 2: n = D2 (D2 < L2)•
1-й і 2-й варіанти відносяться відповідно до двох типів:
- система масового обслуговування з відмовами;
- система масового обслуговування з чергою.
Коли всі канали зайняті, повідомлення не можуть надходити в систему масового обслуговування, яка відповідає варіанту 1. Якщо в момент, коли всі канали задіяні, повідомлення надходять в систему масового обслуговування, яка відповідає варіанту 2, то воно стає в чергу на обслуговування (поки не звільняється один з операторів). При цьому кожна з ліній зв'язку (L2 - D2 ), по яких не приймається повідомлення на даний момент, представляє собою місце в черзі. Коли одночасно задіяні всі канали обслуговування і всі місця в черзі, повідомлення не можуть надходити в систему. Це означає відмову в обслуговуванні.
Варіант 1 є одним із випадків варіанту 2, в якому кількість місць в черзі дорівнює «0». Таким чином, у варіантах, що розглядаються, число m місць в черзі має бути:
для варіанта 1: m = 0;
для варіанта 2: m = L2 - D2.
Параметри n та m (визначені) дозволяють скласти перелік варіантів можливого стану n-канальної системи масового обслуговування з m місцями в черзі (Е0, Е1, Е2, …, Еn) і пронумерованих по кількості повідомлень, що знаходяться в системі масового обслуговування (котрі обслуговуються або знаходяться в черзі):
Е0 - всі канали та місця в черзі вільні;
Ek (k = 1, 2, 3,..., n) - задіяні k каналів; черги немає;
Ek (k=n+1, п+2,… n+m) - задіяні всі n каналів; n - m - повідомлень чекають в черзі.
Сукупність можливих варіантів стану системи масового обслуговування та переходи між ними, що припускаються, відображаються у вигляді графа:
Рис. 3
Зображені в колах вершини графа відповідають варіантам стану системи. Лінії графа зв'язують вершини, між якими можливі безпосередні переходи в напрямку стрілок. Якщо в деякий момент часу система знаходиться в стані Еk, в якому одночасно обслуговується певна кількість S повідомлень, то з цього стану можливі два переходи: перехід вправо в стан Еk+1 у випадку надходження чергового повідомлення (щільність переходу λ), або перехід вліво в стан Еk-1 у випадку закінчення обслуговування однієї з S заявок (щільність таких переходів дорівнює S/tобс). Момент надходження повідомлень в систему масового обслуговування і протяжність часу їх обслуговування є випадковими, тому і процес роботи системи (знаходження системи в тому чи іншому стані) має випадковий характер, якому властиві імовірні закономірності.
Імовірність знаходження системи масового обслуговування Рk в будь-яку мить в певному стані Еk визначається за формулами Ерланга:
- для к=1, 2, 3, …, n
- для к=n+1, n+2, …, n+m
де “α” - приведена щільність потоку повідомлень, яка показує середню кількість повідомлень, що надходять в систему на інтервалі часу, який дорівнює середньому часу обслуговування одного повідомлення.
Розрахунок параметру α здійснюється за формулою:
З метою перевірки розрахунків імовірності Рk використовується співвідношення між ними:
Відмічається, що для n-канальної системи масового обслуговування з відмовами (варіант 1) сукупність можливих варіантів стану складає Е0, Е1, Е2, ... Еn (тому що m=0). При знаходженні імовірності P0 за формулою визначається тільки сума, яка знаходиться в перших дужках і має (n+1) складових.
Характеристика ефективності системи обох типів, що розглядаються, визначаються за формулами:
Імовірність відмови повідомленню в обслуговуванні Рвідм (середня частота повідомлень, що не були обслуговувані в потоці повідомлень):
Рвідм=Рn+m
Відносна пропускна спроможність системи масового обслуговування (середня частота повідомлень, які обслуговувались системою в потоці повідомлень):
q=1-Pвідм
Абсолютна пропускна способність системи “1” (середня кількість повідомлень, яку спроможна обслужити система за одиницю часу):
А=λ·q (повідомл./од.часу)
Середня тривалість інтервалів часу між послідовними моментами виникнення відмов в обслуговуванні Твідм:
Відбір раціонального варіанту побудови системи телефонного зв’язку (системи мосового обслуговування) треба проводити з урахуванням бажання досягти щонайвищої ефективності системи, яка виявляється в низькому значенні Рвідм і високих значеннях велечин q, A, Твідм та з урахуванням прагнення до зменшення витрат, що примушує обмежуватися достатнім рівнем ефективності (наприклад, вимогою того, щоб Рвідм < 0,001), і шукати економічно доцільні шляхи його досягнення.
Приклад № 2
46; 1,4; 4; 4; 2; 5.
хв./повідомл. = 0,027 год./повідомл.
повідомл./добу = 6,75 повідомл./год.
Приведена густина потоку повідомлень визначається за формулою:
Структура аналізуємих варіантів 1 та 2 системи телефонного зв'язку схематично має вигляд:
Варіант 1
Варіант 2
д е: О - оператори;
- лінії зв'язку.