Миноp 3 - поpядка 7.5153466183034d-06

Миноp 4 - поpядка 7.5153466183034D-06

Условие нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравняв к нулю последний определитель Гурвица, так как :

Δ_n = Δ_n-1 · К_n.

Воспользовавшись тем, что статический коэффициент усиления системы входит в коэффициент а₄ характеристического уравнения (5.1) в виде соотношения

а_n = 1 + К_ГР, откуда К_ГР= а_n- 1,

то граничные условия устойчивости для САУ 4-го порядка выглядят следующим образом :

откуда определим :

Так как К_Р < К_ГР , это еще одно доккзательство того, что САУ обладает определенным запасом устойчивости.

5.2 Исследование сау по критерию Михайлова

Если характеристическое уравнение заданной САУ записать в виде :

a₀ · (jω)ⁿ + a₁· (jω)^n-1 +…+ a_n-1· jω + a_n= 0,

то его можно заменить эквивалентной суммой вещественной и мнимой частей, обозначив действительную часть через U (ω), а мнимую - через V (ω) :

U (ω) +jV(ω) =D(jω),

где U (ω) = Rе D(jω) = a_n - a_n-2 · (ω)² + ….+a_n-4· (ω) ⁴+ a₀ · (ω)ⁿ ,

V (ω) = Im D(jω) = a_n-1 - a_n-3 · ω + ….+a_n-5 · ω³+ a₁ · ω^n-1 .

Для характеристического уравнения вида (5.1) аналитические выражения вещественной и мнимой частей имеют вид :

U (ω) = 5.49 – 0.2314 · ω² + 0.000546 · ω⁴, (5.2)

0.825 · ω – 0.02023 · ω³. (5.3)

Изменяя ω в пределах от 0 до ∞, получим кривую - годограф Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: Если годограф D(jω) при изменении ω от 0 до бесконечности повернется против часовой стрелки на угол n ·(π /2), нигде не петляя и не обращаясь в ноль, то система устойчива.

Следуя выше приведенному алгоритму, используя прикладную программу TAU.EXE, получим годограф Михайлова , представленный на рисунке 5.1.

Воспользуемся следствием из критерия Михайлова для нахождения граничного коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости. Приравняем вещественную и мнимую части (соответственно выражения (5.2) и (5.3)) к нулю для нахождения значения свободного члена а_n :

V (ω) = 0; 0.287 · ω – 0.008854 · ω³ = 0 ; ω· (0.825 - 0.02023 · ω² ) = 0 ;

Рисунок 5.1 – Годограф Михайлова исследуемой САУ

Подставим полученное значение частоты в выражение для U(ω) и найдем из него а_n :

а_n= 0.2314·6.386² –0.000546 · 6.386⁴ = 9.4367 - 0.9081= 8.529;

К_ГР = 8.529 – 1 = 7.529, что совпадает с ранее найденным его значением из критерия Гурвица.

5.3 Исследование устойчивости с помощью критерия d-разбиения

Этот критерий рассматривается для оценки устойчивости замкнутой системы, поэтому используется характеристическое уравнение вида :

a_{0 ·} pⁿ+a_{1 ·} p^n-1 +…+ a_{n-1 ·} p + a_n = 0.

Для простоты кривую D-разбиения строят в плоскости одного параметра – коэффициента усиления. Заменим в выражении (5.4) a_n = 1 + К (для статической системы регулирования) и разрешим характеристическое уравнение относительно К :

0.000546р⁴ + 0.020236р³ + 0.2314р² + 0.825р + 1 + К = 0.

Полагая в выражении коэффициент усиления К переменным, заменой оператора Лапласа на оператор Фурье получим сумму вещественной и мнимой частей:

0.000546 · (jω)⁴ + 0.02023 · (jω)³ + 0.2314· (jω)² + 0.825· (jω) + 1 + К = 0 ;

К = – (0.000546 · (jω)⁴ + 0.02023 · (jω)³ + 0.2314 · (jω)² + 0.825 · (jω) + 1),

К = –0.000546 · ω⁴ + j · 0.02023 ·ω ³ + 0.2314 · ω² –- j · 0.825 · ω – 1.

Задаваясь ω от 0 до + , строят одну половину годографа, а затем зеркально отображают на графике ее вторую половину (при изменении ω от - до 0). Кривая, построенная с помощью прикладной программы TAU.EXE, изображена на рисунке 5.2. Годограф является отображением мнимой оси плоскости корней на комплексную плоскость параметра К (коэффициента усиления). При нанесении штриховки справа налево при изменении значений ω от – до + , устойчивость будет сохраняться при значениях корней, лежащих в заштрихованной области. Переход корня из левой полуплоскости в правую через мнимую ось означает потерю устойчивости системы. Из рассмотрения кривой D-разбиения видно, что система остается устойчивой при –1 < К < 1.67, что соответствует ранее найденным значениям К_ГР.