§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум

ЛЕММА Пусть и .

◄ Пусть от противного, например на в силу непрерывности .Положим

, непрерывна на .

противоречие ►

ТЕОРЕМА 16.2 Пусть функция имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Если функционал

достигает экстремума на функции во множестве функций из

со свойством , то эта функция необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера .

◄ По условию и согласно Замечанию 2 и теореме 15.2

Пример Среди гладких кривых, соединяющих точки , найти ту, которая при вращении вокруг оси образует поверхность наименьшей площади.

-площадь поверхности вращения, определяемой

уравнение цепной линии.

ТЕОРЕМА 16.3 (задача на экстремум для функции двух переменных) Пусть функция имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Рассмотрим непрерывный функционал

на множестве дважды непрерывно дифференцируемых на функций, принимающих заданное значение на достигается его экстремум в точке , то последняя необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера-Остроградского.

Используются замечание 2, формула Грина и основная лемма для случая области

Пример Найти поверхность наименьшей площади, натянутую на гладкий поверхностный контур ( архитектурно-строительная задача: снег).

Пусть поверхность, натянутая на контур, имеет уравнение

- уравнение минимальной поверх ности. Это нелинейное ДУЧП второго порядка с граничным условием

ТЕОРЕМА 16.4 (задача с закрепленными концами в случае неизвестных функций).

Пусть функция имеет непрерывные частные произ водные до второго порядка включительно . Если функционал

на множестве непрерывно дифференцируемых кривых , соединяющих две точки достигает экстремума на некоторой кривой, то соответствующие функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Эйлера

Доказательство по схеме теоремы 15.2

Определение Пусть дана гладкая поверхность

Фиксируем две точки . Линия минимальной длины, соединяю щая эти точки и лежащая на , называется геодезической линией.

ЗАМЕЧАНИЕ Уравнение такой линии можно задать в виде ,

причем .

Тогда длина этой линии вычисляется по формуле

, где ,

, .

Пример Найти уравнения геодезических линий на цилиндре ,

где .

- уравнение спирали на цилиндре.

_____

Определение Прямыми методами вариационного исчисления называются приближенные численные методы, дающие непосредст венное решение вариационной задачи, то есть не сводящие ее реше ние к решению дифференциальных уравнений Эйлера. Это методы Ритца, Канторовича, Галёркина.

ЗАМЕЧАНИЕ (метод Ритца) Требуется найти

, .

1) Выбирается подходящая линейно независимая система функций со свойством ,

2) Линейная комбинация подставляется в функционал и получается функция от переменных .

3) Для этой функции решается задача на минимум и по решению выписывается -ое приближение .

4) Процесс нахождения оканчивается, когда разность удовлетворяет требуемой точности.

Пример . Сначала найдем точное решение

.

Теперь найдем приближенное решение методом Ритца при . Полагая , имеем

.

Приравнивая частные производные функции нулю, получаем

.

Точное решение совпало с приближенным.