- •Глава 10 теория функций комплексного переменного
- •§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.
- •§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
- •§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
- •§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
- •§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.
- •§ 10.6 Преобразование Лапласа
- •§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
- •§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.2 Графы электрических цепей
- •Глава 15 случайные функции
- •Глава 16 вариационное исчисление
- •§ 16.1 Вариация функционала
- •§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум
- •§ 16.3 Задачи на условный экстремум
- •В опросы ко второму блоку
- •Типовые задачи к экзамену
- •Литература
§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
Опр (Коши,1821) Пусть . Отображение называется функцией комплексного переменного (ФКП).
Опр Пусть - предельная точка множества . Число называется пределом функции в точке , если . Пусть - предель ная точка множества и . Функция называется непрерывной в точке , если
.
ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция определена в окрестности точки и принимает значения в . Тогда она непрерывна в точке , если и только если отображение непрерывно в точке .
Пр ФКП непрерывна в области , так как непрерывна как функция двух вещественных переменных.
ТЕРЕМА 10.2 (критерий дифференцируемости ФКП в точке) Пусть функция комплексного переменного определена в окрестности точки . Тогда равносильны утверждения: 1) дифференцируема в точке ;
2) отображение дифференцируемо в точке , удовлетворяет в ней уравнениям Коши-Римана: , .
ЗАМЕЧАНИЕ Уравнения Коши-Римана в полярной системе координат имеют вид .
СЛЕДСТВИЕ Если дифференцируема в точке , то ее производную можно вычислять по формуле .
____
Опр ;
(Эйлер, 1749,1762);
;
.
Опр Функция комплексного переменного называется целой, если она дифференцируема в каждой точке плоскости .
ТЕОРЕМА 10. 3 1) Функция целая -периодическая и не имеет нулей в плоскости .
2) Функции целые -периодические и
.
3 ) Функция дифференцируема в каждой точке из кроме точек ; функция
дифференцируема в каждой точке из кроме точек ;
4) Функция дифференцируема в каждой точке плоскости с разрезом и является обратной к функции в полосе ;
5) Функция , является дифференцируемой в плоскости с разрезом ;
6) Функция целая и не имеет нулей в .
Пр 1 . Пр 2 .
____
Опр Функция комплексного переменного называется аналитической в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой -окрестности . Точка, в которой не аналитическая, называется особой точкой функции.
Пр аналитическая в любой точке кроме .
Опр Функция называется аналитической (голоморфной) в области , если она аналитична в каждой точке этой области.
ЗАМЕЧАНИЕ От греч. - целый + - форма. Термин ввели Брио и Буке (середина ХIХ века). Термин «аналитическая функция» - Кондорсе.
Опр (Коши). Функция называется аналитической (голоморфной) на замкнутом множестве , если она аналитична в некоторой области, содержащей .
ЗАМЕЧАНИЕ (физический смысл аналитической функции) Пусть в материальной односвязной плоской области известна напряженность электростатического поля , порождаемого зарядами, сосредоточенными на границе . Тогда
существует аналитическая в функция , которая называется комплексным потенциалом электростатического поля, и которая обладает свойствами:
1) ; 2) линии уровня совпадают с силовыми линиями этого поля; 3) линии уровня совпадают с эквипотенциальными
линиями поля.