§ 10.3 Интегрирование аналитических функций

Определение (Коши, 1825) Пусть есть кусочно гладкая кривая в области , и - непрерывная функция комплексного переменного. Разобьем кривую точками , выберем точки . Образуем интегральную сумму ,где . Обозначим диаметр разбиения кривой . Интегралом от ФКП на кривой l называется конечный предел .

ТЕОРЕМА 10.4 (свойства интеграла)

1) Если ФКП непрерывна в односвязной области , то равносильны утверждения:

а) голоморфна в ; б) для любой спрямляемой кривой интеграл зависит

только от ее концов; в) для любого замкнутого спрямляемого контура .

2) (теорема Коши для сложного контура) Пусть граница -связной области состоит из внешней и штук внутренних кусочно гладких замкнутых жордановых кривых. Обход каждой из кривых выбран так, чтобы область оставалась слева. Если аналитическая на , то .

3) (формула Коши) Если аналитическая в точке , то

.

Пр . При

ЗАМЕЧАНИЕ (способы вычисления интегралов от ФКП)

1) , то есть с помощью КИВР.

2) Если - кусочно гладкая кривая, то , то есть с помощью интеграла от КЗФ.

3) Если голоморфна в односвязной области и - первообразная этой функции, то , то есть с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты

Опр Ряд по степеням называется сходящимся на множестве , если сходятся ряды . В противном случае ряд называется расходящимся.

ТЕОРЕМА 10.5 (свойства функциональных рядов)

1) Если существует или , то степенной ряд равномерно сходится внутри круга и расходится в каждой точке вне его замыкания ; круг называется кругом сходимости, а число - радиусом сходимости степенного ряда. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.

2) Пусть функция голоморфна на окружности . Положим

.

Пусть существуют пределы . Тогда ряд по степеням ( ряд

Лорана функции ) сходится к равномерно внутри кольца

, и имеет на каждой компоненте его границы особые точки.

Пр 1 Целая функция разлагается в ряд Маклорена во всей комплексной плоскости.

Пр 2 .

_____

Опр Особая точка аналитической функции называется изолированной особой точкой однозначного характера (ИОТОХ), если аналитична в некоторой проколотой окрестности .

Опр ИОТОХ называется полюсом функции , если . Полюс называется полюсом порядка , если существует конечный и не равный нулю предел . Полюс первого порядка называется простым.

Пр Функция , имеет полюс порядка в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция имеет ИОТОХ в . является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана имеет конечное число членов.

_____

Опр Пусть - ИОТОХ функции . Вычетом этой функции в точке называется число , где - замкнутая спрямляемая жорданова кривая, охватывающая , причем ее внутренность должна оставаться слева при обходе точки по контуру .

ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы Коши 10.4.2 вычет не зависит от выбора .

Опр Пусть КЗФ непрерывна на . Если существует конечный предел

, то он называется интегралом в смысле главного значении.

ТЕОРЕМА 10.6 (свойства вычетов)

1) Если , то . Если , то .

2) (основная теорема о вычетах) Если аналитическая в односвязной области за исключением ИОТОХов , - спрямляемая замкнутая жорданова кривая в , охватывающая , то .

3) Пусть у рациональной функции и не имеет нулей на прямой . Тогда

,

- нули , лежащие в соответствующей полуплоскости.

4) Если - полюс порядка функции , то .

5) Пусть в окрестности , функции аналитична в , и

имеет простой нуль в точке . Тогда точка является простым полюсом функции и .

Пр 1 Вычислим интеграл . Так как подынтегральная функция имеет простой полюс в точке и полюс второго порядка в точке внутри контура интегрирования, то по основной теореме о вычетах и пунктам 4, 5 теоремы имеем

.

Пр 2 Вычислим интеграл , который является обратным

преобразованием Фурье функции (смотри §8.3). При по пункту 3

теоремы имеем

.

При .

В целом, .