- •Глава 10 теория функций комплексного переменного
- •§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.
- •§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
- •§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
- •§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
- •§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.
- •§ 10.6 Преобразование Лапласа
- •§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
- •§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.2 Графы электрических цепей
- •Глава 15 случайные функции
- •Глава 16 вариационное исчисление
- •§ 16.1 Вариация функционала
- •§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум
- •§ 16.3 Задачи на условный экстремум
- •В опросы ко второму блоку
- •Типовые задачи к экзамену
- •Литература
§ 16.3 Задачи на условный экстремум
Опр Изопериметрической задачей (на условный экстремум) называется задача нахождения среди непрерывно дифференцируемых на функций с условиями
где -заданное число, на которой достигается экстремум .
Пример (задача Дидоны) Найти кривую в верхней полуплоскости, соединяющую точки с координатами , имеющую заданную длину , которая бы вместе с отрезком оси охватывала фигуру наибольшей площади. Здесь в качестве функционала естественно взять периметр фигуры (постоянное слагаемое опускаем), а в качестве функционала - площадь фигуры .
ТЕОРЕМА 16.5 Пусть функция имеет непрерывные частные производ ные до второго порядка включительно . Если на допустимой функции достига ется экстремум функционала и не достигается экстремум функционала , то является экстремалью функционала ,
то есть .
Пример Предполагаем для простоты, что экстремаль задается уравнением . Тогда
.
То есть экстремальная кривая необходимо является дугой окружности с хордой длины .
_____
Опр Задачей Лагранжа (- на условный экстремум) называется задача нахождения непрерыв но дифференцируемых на функций , удовлетворяющих граничным условиям , голономным (геометрическим) связям
,
и на которых достигается экстремум функционала .
ТЕОРЕМА 16.6 Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно(по ), функции - непрерывно дифференцируемые частные производные и . Если экстремум функционала достигается на непрерывно дифференцируемых функциях , удовлетворяющих граничным условиям , , и голономным связям, то существуют такие функции (- множители Лагранжа), что функция Лагранжа удовлетворяет системе уравнений Эйлера
. Без доказательства.
ЗАМЕЧАНИЕ Аналогичная теорема имеет место, если связи неголономные (дифференциальные) .
Пример Объект управления описывается дифференциальным уравнением с
краевыми условиями . Требуется синтезировать автоматический
регулятор, оптимальный по минимуму квадратичного критерия качества:
.
Имеем задачу Лагранжа с одной неголономной связью
и функцией Лагранжа . Система уравнений Эйлера для искомых экстремалей имеет вид .
Исключаем из нее множитель Лагранжа и объединяем полученное уравнение с уравнением связи . Корни ее характеристического уравнения равны . Подставляя в общее решение граничные условия, получаем экстремаль . Вторую экстремаль получаем, подставляя первую в уравнение объекта управления
.
Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. год, УУ-21,22
1. Опр. комплексной плоскости. 2. Опр. модуля, сопряженного числа, главного значения аргумента.
3 . Опр. тригонометрической, показательной форм комплексного числа. 3. Опр. произведения, част ного комплексных чисел, корня n-ой степени 4. Опр. граничной точки, границы и замыкания. Пр. 5. Опр. несвязного множества, области, n-связной области. Пр. 6. Опр. непрерывной ФКП. Пр. .
7. Опр. функции и их свойства. 8. Опр. функций , и их свойства. 9. Опр. функций и их свойства. 10. Опр. функции, аналитической в точке, на замкнутом множестве и в области. 11. Опр. интеграла ФКП по кривой и способы его вычисления. 12. Т. Коши для сложного контура и формула Коши. Пр. 13. Опр. ИОТОХ и полюса. Пр. 14. Опр. ряда по степеням и ряда Лорана функции. Гл. и правильная части. 15. Опр. вычета и его свойства. Пр. 16. Опр. годографа функции и корневого годографа. 17. Опр. оригинала и показателя роста. Пр. 18. Опр. изображения, преобразования Лапласа и свертки функций. 19. Опр. функции Хевисайда и гамма-функции. Пр. 20. Опр. оригинала, изображения и Z-преобразования. Пр. 21. Опр. линейного разностного уравнения и свойства его решений. Пр.