§12.2 Графы электрических цепей
Всюду
ниже
есть граф без петель (мультиграф).
.
На ребрах задана произвольная ориентация,
так что
есть орграф. Под циклом понимается
любой замкнутый маршрут.
Опр
Сопоставим каждому циклу
-ку
целых чисел
,
где
есть число прохо- дов
-го
ребра
при
обходе цикла
,
совпадающих с ориентацией ребра,
-
число проходов
-го
ребра
с ориентацией, противопо- ложной заданной
ориентации ребра. Вектор
называется вектор-циклом, соответствующим циклу .
Пример
В предыдущем орграфе выберем несколько
циклов и построим их вектор-циклы.
,
,
.
ЗАМЕЧАНИЕ
1)
тогда и только тогда, когда приобходе
цикла каждое ребро или вообще не
проходится или число его при обходов
в прямом и противоположном направлениях
совпадают.
2) Для любого цикла (в выше указанном смысле) на дереве .
3)
.
4)
.
5)
.
Опр
Цикл
называется линейной
комбинацией циклов
,
если
.
Опр
Последовательность циклов
называется линейно
независимой,
если линейно независимы вектор-циклы
над полем
(или, что все равно, над кольцом
).
Опр
Последовательность циклов
называется цикловым
базисом
графа
,
если эти циклы линейно независимы и
каждый цикл из
является их линейной комбинацией.
Пример
В орграфе из предыдущего примера с
параметрами
мы построили остовное
дерево
.
Теперь
выделим простые циклы, одна дуга в
которых не входит в остовное дерево:
,
,
Матрица,
составленная из координат, имеет
вид
.
Например,
для цикла
.
Из следующей ниже теоремы следует, что
есть цикловой базис связного орграфа
.
Опр
Матрица
,
строками которой являются координаты
вектор-циклов какого-либо циклового
базиса, называется цикломатической
матрицей графа
.
ТЕОРЕМА 12.2 (Свойства циклового базиса связного мультиграфа)
1) Если при некоторой ориентации ребер выполняется равенство
,
то оно сохраняется при любой другой его ориентации.
2)
Цикловые базисы мультиграфа имеют одно
и тоже количество элементов, которое
равно
,
поэтому
имеет размер
.
3)
Если связный орграф не является деревом
(
),
то в нем существует цикловой базис,
состоящий из простых циклов.
◄ 3) (алгоритм построения)
Шаг
1. В графе
строим остовное дерево
,
которое не содер жит
– ребер
.
Шаг 2.
Для каждого из этих ребер в
по теореме 12.1.3 существует единственный
простой цикл, содержащий это ребро.
Полученные
циклы линейно независимы, так как ранг соответствующей цикломатической матрицы равен,
очевидно, . ►
Рис.12.11
Пример По данной электрической цепи, образованной двухполюсными элементами, построим орграф и найдем цикломатическую матрицу последнего. Для этого последовательно каждую ветвь с содержащейся на ней одним элементом считаем ребром графа; ветви, не содержащие элементов, стянем в точку; на полученном графе зададим произвольную ориентация ребер. На рис. 12.11 показан порядок построения орграфа.
Построим
на нем остовное дерево:
.
.
В соответствии с теоремой образуем
(смотри предыдущий пример)
цикловой
базис
и цикломатическую матрицу
.
ТЕОРЕМА
12.3 Пусть
электрическая цепь образована
двухполюсными элементами
По этой
цепи образуем связный мультиграф,
сопоставив каждому элементу ребро, а
каждому
му
узлу соединений этих элементов или
проводнику между этими
элементами
- вершины
.
Ветви, не
содержащие элементов, стянем в точки.
Зададим на каждом ребре ориентацию,
превратив граф в орграф. Обозначим
через
матрицу падений напряжений на
соответствующих элементах цепи, а через
- матрицу токов, проходящих по
соответствующим дугам. Тогда:
1)
(электротехнический смысл матрицы
)
однородная СЛАУ
совпадает с уравнением Кирхгофа для
напряжений цепи;
2)
(электротехнический смысл матрицы
)
а)
;
б) если из СЛАУ
выбросить одно какое-либо уравнение,
то получится уравнение Кирхгофа для
токов.
Пример Составить систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи из предыдущего примера. Найти преобразование Лапласа этой системы. Найти падения напряжений на всех двухполюсниках как функции тока в цепи источника.
◄ 1) Используя найденную в предыдущем примере цикломатиче скую матрицу, выпишем
уравнение Кирхгофа для напряжений в развернутом виде и применим к нему
преобразование Лапласа:
.
2) Построим матрицу инцидентности орграфа
.
Выпишем с ее помощью уравнение Кирхгофа для токов, и применим к нему преобразование Лапласа.
.
3)
Установим связь между изображениями
падений напряжений
и токов
в ветвях. Напомним, что на сопротивлениях,
емкостях и индуктивностях связи
соответственно имеют вид
,
,
.
Тогда их изображения по Лапласу
соответствен но равны
.
Это позволяет выписать следующие связи
между
и
.
По
условию известным считается
,
а искомыми
.
Поэтому в СЛАУ для напря жений исключим
последнее уравнение, содержащее
.
В СЛАУ для токов исключим, напри мер,
последнее уравнение, а в оставшихся
выразим изображения токов через изображе
ния падений напряжений по полученным
выше формулам. Полученные СЛАУ объединим:
.
Остается решить эту СЛАУ и применить обратное преобразование Лапласа, например, с помощью символьных вычислений в Matlab.