3 Выбор метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1 Анализ метода решения оду

Существует большое количество методов решения ОДУ. Наиболее распространенные методы: Рунге- Кутта, Эйлера-Коши, разностные методы.

Метод Рунге-Кутта:

Метод предназначен для интегрирования дифференцированных уравнений первого порядка вида .

Существуют формулы Рунге - Кутта, предназначенные для интегрирования дифференциального уравнения второго и третьего порядков, но они очень громоздки и на практике используются очень редко.

Итерационные методы Эйлера-Коши.

Эти методы применимы для интегрирования дифференциальных уравнений любого порядка.

Разностные методы интегрирования оду.

Эти методы основаны на замене производной в дифференциальных уравнениях их приближенными разностными аналогами.

3.2 Описание алгоритма выбранного метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Для интегрирования полученного обыкновенного дифференциального уравнения колебания кузова вагона на рессорах был выбран разностный метод интегрирования.

Обратимся к математической модели собственных колебаний подпрыгивания кузова вагона на пружинах рессорного подвешивания система уравнений (9)

(10)

В математической модели выражение для массы М может принимать 2 значения система (11)

(11)

Первое значение в выражении (11) для массы М соответствует состоянию статического равновесия вагона с грузом в момент времени t = 0. Второе значение в выражении (11) для массы М соответствует колебательному процессу после снятия нагрузки массой Мг.

Алгоритм решения этим методом заключается в следующем:

- Определяем наивысшую производную степень ОДУ.

- Дифференциальное уравнение первого порядка заменяем разностным аналогом (формула 11)

. (11)

где – перемещение при текущем (i) значении времени;

– перемещение при предыдущем (i-1) значении времени;

h – шаг интегрирования (шаг разностной аппроксимации по времени).

- Производная второго порядка заменяется разностным аналогом (формула 12)

(12)

где – перемещение при последующем (i+1) значении времени;

– перемещение при текущем значении времени;

– перемещение при предыдущем значении времени;

– шаг интегрирования по времени.

- Разностные аналоги подставляются в исходное уравнение.

- Определяем начальные условия.

Подставляем:

(13)

(14)

(15)

Уравнение (14) является алгебраическим аналогом дифференциального уравнения движения в системе (8). Математическая модель собственных колебаний подпрыгивания в разностной форме примет вид

(16)

4 Разработка программы расчета собственных колебаний кузова на рессорном подвешивании

4.1 Блок-схема алгоритма решения задачи

Блок-схема алгоритма приведена на рисунке 4 [8].

Ввод исходных данных

Вычисление начальных условий

М – масса гравитационного состояния

Определение перемещения на первых двух временных слоях

Рисунок 4 – Блок-схема алгоритма решения задачи

Учитывая, что шаг разностной аппроксимации h имеет очень малое значение и стремится к нулю, следовательно, на первом шаге интегрирования принимаем q_i+1=q. В момент запуска системы (t=0): q_i+1=q_i=q₀.