2.4. Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний

,

где х – смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; – круговая (циклическая) частота; v = 1/Т – частота; Т – период колебаний; ₀ – начальная фаза; – фаза колебаний в момент t.

Круговая частота колебаний

или ,

где  и Т – частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

.

Ускорение при гармоническом колебании

.

Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,

.

Начальная фаза результирующего колебания:

,

где A₁ и А₂ – амплитуды двух складываемых колебаний; ₁ и ₂ – начальные фазы колебаний.

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ₁ и ₂,

.

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A₁ и А₂ и начальными фазами ₁ и ₂,

.

Если начальные фазы ₁ и ₂ составляющих колебаний одинаковы, уравнение траектории примет вид:

,

т.е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

, или ,

где m – масса точки; k – коэффициент квазиупругой силы ( ).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

.

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

,

где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

,

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

,

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; а – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L = J/(mа) – приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах ~ 3 погрешность в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

,

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

или ,

где – коэффициент затухания; – собственная частота той же колебательной системы; r – коэффициент сопротивления.

Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения):

,

где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t;  – их круговая частота.

Круговая частота затухающих колебаний

.

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

,

где A₀ – амплитуда колебаний в момент t = 0.

Логарифмический декремент затухания

,

где  – коэффициент затухания; Т – период затухающих колебаний;  – время релаксации; N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз; А(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

, ,

где F₀ cost – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F₀ – амплитуда вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний

,

₀ – собственная частота той же колебательной системы;  – частота внешней вынуждающей силы.

Резонансная частота и резонансная амплитуда

, .