Проверка значимости истинного коэффициента корреляции

Для проверки значимости истинного (генерального) коэффициента корреляции проверяется нулевая гипотеза H₀: r = 0 против альтернативной H₁: r ¹ 0. Если на выбранном уровне значимости a гипотеза H₀ отвергается, то коэффициент корреляции r считается значимым и рассчитанное по выборке значение r может быть использовано в качестве его точечной оценки. Если коэффициент корреляции оказывается незначимым, т. е. гипотеза H₀ не отвергается, то с вероятностью l = 1 - a признаки X и Y в генеральной совокупности считаются линейно независимыми (не­кор­ре­ли­ро­ван­ными).

Доказано, что если верна гипотеза H₀: r = 0, то статистика

( 3 )

имеет распределение Стьюдента с n = n - 2 степенями свободы. По таблице распределения Стьюдента были определены значения статистики t_табл. (a,n = n - 2) для a = 0.01 и a = 0.05 и рассчитаны соответствующие границы для r (таблицы Фишера - Йейтса, см. приложение 1).

Таким образом, для проверки гипотезы H₀: r = 0 находят r_табл. (a, n = n - 2) и сравнивают его с r_набл., рассчитанным по выборочным данным (например, по формулам (2)). Еслиôr_набл.ô £ r_табл., то гипотеза H₀ не отвергается на уровне значимости a; если ôr_набл.ô > r_табл., то гипотеза H₀ не отвергается и, следовательно, коэффициент корреляции r значим.

Интервальное оценивание коэффициента корреляции

Если для двумерной корреляционной модели коэффициент корреляции r значим, то имеет смысл найти для него интервальную оценку (построить доверительный интервал). Плотность вероятности выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид, поэтому используют специально подобранные функции от выборочного коэффициента корреляции r, которые подчиняются хорошо изученным законам распределения, например нормальному закону. Чаще всего используют z - преобразование Фишера:

( 4 )

Таблицы преобразований Фишера приведены в приложении 2. Величина z при n > 10 распределена приблизительно нормально, причем

По таблице z - преобразования Фишера выборочного коэффициента корреляции r находят ему соответствующее z_r и строят интервальную оценку для MZ:

( 5 )

где t_l находят по таблице интегральной функции Лапласа (Приложение 3) из условия F (t_l) = l / 2 для данного l = 1 - a. Таким образом получают доверительный интервал

z_min £ MZ £ z_max , ( 6 )

исходя из которого, с помощью таблиц z - преобразования Фишера получают интервальную оценку для r (по значениям z находят значения r):

r_min £ r £ r_max . ( 7 )

При выборе r_min и r_max следует учитывать, что z - функция нечетная.

Индивидуальные задания

По данным X и Y таблицы 3, соответствующим номеру вашего варианта, необходимо выполнить следующее:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции r между X и Y.

2. Проверить значимость истинного коэффициента корреляции r с помощью таблицы Фишера - Йейтса ( приложение 1 ).

3. В случае, если r значим, найти для него интервальную оценку с помощью z - преобразования Фишера ( приложение 2 ).

Варианты задач для самостоятельной работы даны в таблице 2.

Таблица 2

Номер	Признаки	Номер	Признаки	Номер	Признаки
варианта		варианта		варианта
1	Y1X1	10	Y2X1	19	Y3X1
2	Y1X2	11	Y2X2	20	Y3X2
3	Y1X3	12	Y2X3	21	Y3X3
4	Y1X4	13	Y2X4	22	Y3X4
5	Y1X5	14	Y2X5	23	Y3X5
6	Y1X6	15	Y2X6	24	Y3X6
7	Y1X7	16	Y2X7	25	Y3X7
8	Y1X8	17	Y2X8	26	Y3X8
9	Y1X9	18	Y2X9	27	Y3X9