Образец выполнения индивидуального задания

Методику вычисления выборочного коэффициента корреляции r, проверки значимости истинного (генерального) коэффициента корреляции r, построения доверительного интервала для r в случае его значимости рассмотрим на следующем примере.

Пример: На основании представленных в табл. 4 данных о выработке валовой продукции на одного работающего (X) и материалоемкости в стоимостном выражении (Y), полученных с n=15 однотипных предприятий, проверить при a=0,05 значимость коэффициента корреляции r; с надежностью g=0,95 найти интервальную оценку для r. Предполагается, что совместное распределение признаков (X,Y) подчиняется нормальному закону распределения.

Таблица 4

млн руб.	6.0	4.9	7.0	6.7	5.8	6.1	5.0	6.9	6.8	5.9	5.0	5.6	6.0	5.7	5.1
%	25	30	20	21	28	26	30	22	20	29	27	25	24	25	30

Для получения по формулам (2) точечных оценок генеральных средних, дисперсий, средних квадратических отклонений и коэффициентов корреляции результаты промежуточных вычислений удобно поместить в расчетную таблицу (таблица 5) .С целью контроля вычислений данные разбиты на пятерки, для каждой из которых в итоговой (выделенной) строке приводятся суммы элементов соответствующих строк. Сумма пяти элементов контрольного столбца должна совпадать с суммой элементов итоговой строки.

Так, например,

6.0+4.9+7.0+6.7+5.8=30.4

6.0+25+36.00+625+150.0=842

Контроль: 30.4+124+187.54+3150+740.1=842.00+1105.91+616.00+654.29+1013.84=4232.04

Таблица 5

X	Y	X^2	Y^2	X Y	контроль
1	2	3	4	5	6
6.0 4.9 7.0 6.7 5.8	25 30 20 21 28	36.00 24.01 49.00 44.89 33.64	625 900 400 441 784	150.0 147.0 140.0 140.7 162.4	842.00 1105.91 616.00 654.29 1013.84
30.4	124	187.54	3150	740.1	4232.04
6.1 5.0 6.9 6.8 5.9	26 30 22 20 29	37.21 25.00 47.61 46.21 34.81	676 900 484 400 841	158.6 150.0 151.8 136.0 171.1	903.91 1110.00 712.31 609.01 1081.81
30.7	127	190.84	3301	767.5	4417.04
5.0 5.6 6.0 5.7 5.1	27 25 24 25 30	25.00 31.36 36.00 32.49 26.01	729 625 576 625 900	135.0 140.0 144.0 142.5 153.0	921.00 826.96 786.00 830.69 1114.11
27.4	131	150.86	3455	714.5	4478.76

Далее составим таблицу итоговых строк (таблица 6).

Таблица 6

1	2	3	4	5	6
30.4 30.7 27.4	124 127 131	187.54 190.84 150.86	3150 3301 3455	740.1 767.5 714.5	4232.04 4417.04 4478.76
88.5	382	529.24	9906	2222.1	13127.84

Из последней строки итоговой таблицы получаем:

å x = 88,5 ; å y = 382 ;

å x²= 529,24 ; å y²= 9906 ; å xy = 2222,1 .

Следовательно, по формулам (2) :

Теперь можно найти точечную оценку парного коэффициента корреляции:

Для проверки значимости истинного (генерального) коэффициента корреляции r сформулируем статистическую гипотезу H₀: r = 0. По условию уровень значимости a = 0, 05. По таблице Фишера-Йейтса (приложение 1) находим r_табл. (a = 0.05; n = n - 2 = 13) = 0.514.

Сравнение ½r_набл.½ = 0,90 и r_табл. = 0,514 свидетельствует о том, что гипотеза H₀ : r = 0 отвергается (0,90 > 0.514 ) и, следовательно, коэффициент корреляции r значим.

Построим теперь с надежностью g =1 - a = 0,95 интервальную оценку для r с помощью z - преобразования Фишера (4). По таблице из положения 2 по найденному значению r = - 0,90 находим z_r = -1,4722 , учитывая, что функция нечетная, т.е. z_-r =-z_r. По таблице значений интегральной функции Лапласа (приложение 3 ) из условия Ф(t_g) = g / 2 = 0,95 / 2 = 0,475 находим t_g=1,96 и по формуле (5) получаем интервальную оценку для MZ:

,

или, окончательно,

2,0380 £ MZ £ -0,9064.

Воспользовавшись таблицей z-преобразований Фишера, перейдем от z к r:

z_max = -0,906 , следовательно, r_max =-0,72;

z_min = -2,0380 , следовательно, r_min =-0,97.

По формуле (7) получаем искомый доверительный интервал для r:

0,97< r < -0,72

Таким образом, доказана тесная отрицательная взаимосвязь между выработкой валовой продукции на одного работающего и материалоемкостью в стоимостном выражении.