- •Диференціальне числення функцій кількох змінних.
- •9.2. Функція кількох змінних.
- •9.3. Границя і неперервність функції кількох змінних.
- •9.4. Частинні похідні. Диференційованість функції.
- •9.5. Повний диференціал і його застосування
- •9.6. Диференціювання складних функцій.
- •9.7. Неявні функції та їх диференціюванн.
- •9.8. Скалярне поле. Градієнт і похідна за напрямом.
- •Формула Тейлора для функції кількох змінних.
- •Метод найменших квадратів.
- •Умовний екстремум.
- •Метод виключення (або метод підстановки).
- •Метод множників Лагранжа.
- •Найменше і найбільше значення функції в замкненій області.
- •1) Знаходимо критичні точки
ОСВІТИ І НАУКИ,
МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ
НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра „Вища та прикладна математика”
ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Методичні вказівки до практичних занять
Одеса – 2012
Методичні вказівки розроблені –- старшим викладачем кафедри „Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету.
Методичні вказівки схвалено кафедрою „Вища та прикладна математика” ОНМУ (протокол № ).
Рецензент: ст. викл. каф. В та ПМ
Диференціальне числення функцій кількох змінних.
Множини точок числового простору.
Означення. Упорядкована послідовність дійсних чисел називається точкою – вимірного числового простору . Числа називаються координатами цієї точки. Точка позначається . Для просторів (площина) і (тривимірний простір) користуються частіше позначеннями відповідно і .
Відстань між точками і позначається і визначається рівністю
. (9.1)
Означення. околом даної точки називається множина тих точок , для яких
. (9.2)
окол точки будемо позначати .
Проколеним околом точки називається множина точок , для яких
(9.3)
(тобто множина всіх точок за винятком самої точки ). Проколений окол позначимо .
Зокрема в двовимірному просторі околом точки є внутрішність круга радіуса з центром у точці , а у тривимірному просторі – внутрішність
кулі радіуса з центром у точці .
Означення. Нехай деяка множина точок . Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує такий окіл точки , усі точки якого належать до . Точка містить у собі як точки множини , так і точки, що не належать до .
Означення. Множина називається (внутрішньою) областю, якщо вона задовольняє вимоги:
-
усі точки є внутрішніми точками;
-
будь – які дві точки можна сполучати суцільною кривою, всі точки якої належать до (умова зв’язності).
Область разом із своїми межовими точками називається замкненою і
позначається .
Множина межових точок області називається її межею.
Зокрема в двомірному просторі область являє собою деяку плоску фігуру, а її межа – лінію, яка цю фігуру обмежує (контур фігури). У тривимірному просторі область – просторове тіло, а її межа – поверхня , що обмежує це тіло.
У одновимірному просторі (на числовій прямій) областю є числовий інтервал, який можна задати чи описати двома способами: або вказуючи його межу (наприклад ), або за допомогою нерівностей (наприклад ). Подібним чином і в просторі область можна задати, вказавши її межу або за допомогою нерівностей, що визначають межі, в яких змінюються координати точок, належних до області.
Приклади. 1. Область обмежена лініями і . Визначимо її за допомогою нерівностей (рис. 9.1).
Р И С. 9.1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11
Знайдемо точки перетину ліній:
.
Отже проекцією області на вісь є інтервал , або . Для кожного значення ордината точок області знаходиться в межах від до . Таким чином задана область визначається нерівностями
Зазначимо, що проекцією даної області на вісь є , а для кожного абсциса точок області знаходиться в межах від до . Значить дана область визначається і такими нерівностями:
.
Зауваження. В межових точках області відповідні нерівності переходять у рівності, отже коли потрібно задати замкнену область, то в описанні області слід замінити строгі нерівності нестрогими. Так, у попередньому прикладі замкнена
область визначається нерівностями
або
2. Область задана нерівностями
Знайти межу області і зобразити її на рисунку.
Р И С. 9.2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Рівняння межі області отримаємо, змінивши нерівності в означенні області рівностями:
Таким чином межа області складається з двох прямих: і які проходять через початок координат і ділять площину на 4 кути: (рис. 9.2). Залишається перевірити, які з цих кутів належать до даної області. Для цього беремо координати довільної точки в даному куті і перевіряємо, чи задовольняють вони визначальні нерівності області:
а) точка лежить у куті ; нерівності виконуються, отже , а значить і вся внутрішність кута належить до заданої області;
б) точка лежить у куті ; її координати визначальну нерівність не задовольняють, отже точки всередині кута не належить до області .
Аналогічним чином переконуємося, що внутрішність кута належить, а внутрішність кута не належить до області .
Таким чином задана область складається з точок кутів і , включаючи межові точки (точки сторін цих кутів), тобто є замкненою (рис. 9.2).