- •Диференціальне числення функцій кількох змінних.
- •9.2. Функція кількох змінних.
- •9.3. Границя і неперервність функції кількох змінних.
- •9.4. Частинні похідні. Диференційованість функції.
- •9.5. Повний диференціал і його застосування
- •9.6. Диференціювання складних функцій.
- •9.7. Неявні функції та їх диференціюванн.
- •9.8. Скалярне поле. Градієнт і похідна за напрямом.
- •Формула Тейлора для функції кількох змінних.
- •Метод найменших квадратів.
- •Умовний екстремум.
- •Метод виключення (або метод підстановки).
- •Метод множників Лагранжа.
- •Найменше і найбільше значення функції в замкненій області.
- •1) Знаходимо критичні точки
-
Метод найменших квадратів.
В процесі наукового або інженерного експерименту задається зазвичай ряд окремих значень однієї величини (позначимо її ) і вимірюється відповідне значення іншої величини (позначимо її ). В результаті серії дослідів одержимо функціональну залежність від у вигляді таблиці такого типу:
…… |
|||||
….. |
Виникає питання – як підшукати (можливо наближену) формулу для цієї функції? Використання інтерполяційних формул в більшості випадків недоцільне, а іноді й практично неможливе з таких причин:
а) інтерполяційна формула виявляється надто складною (многочлен високого степеня), її побудова вимагає громіздких обчислень;
б) затрачена при цьому праця не виправдовує себе, тому що інтерполяційна формула сліпо повторює всі випадкові похибки, закладені в експериментальних даних і не може адекватно відображати суть досліджуваного процесу.
Отже, задача полягає в такій обробці експериментальних даних, при якій по можливості точно була б відображена тенденція залежності від і по можливості повно було виключено вплив випадкових відхилень, пов’язаних з похибками експерименту. Така задача є типовою для інженерної практики.
Дуже часто вигляд залежності (наприклад, лінійна, квадратична, степенева, показникові, то – що ) відомий із загальних міркувань або може бути гіпотетично встановлений за розташуванням експериментальних точок на координатній площині. Тоді на підставі дослідних даних потрібно визначити лише значення деяких параметрів цієї залежності. Так, у випадку лінійної залежності треба визначити коефіцієнти . Для цієї мети німецьким математиком К.Ф. Гауссом було розроблено розрахунковий метод, який називають методом найменших квадратів.
Для простоти обмежимося випадком, коли залежність апроксимується лінійною функцією:
, (9.32)
Де коефіцієнти і підлягають обчисленню на підставі експериментальних даних (див. таблицю на початку цього пункту).
Підставляючи табличне значення в праву частину (9.32), ми, взагалі кажучи, не отримаємо точне табличне значення , тому що табличні значення містять у собі похибки експерименту. Отже для всіх чи деяких значень різниця (так звана нев’язка)
, буде відмінна від нуля.
Гаусс запропонував обирати значення параметрів і так, щоб вони мінімізували суму квадратів нев’язок
. (9.33)
Тоді пряма буде проходити в певному розумінні «якнайближче» до кожної з екстремальних точок.
Таким чином задача звелася до відшукання точки мінімуму функції .
Для відшукання стаціонарних точок прирівнюємо до нуля частинні похідні :
Після скорочення на 2, розкриття дужок і зведення подібних одержимо так звану нормальну систему методу найменших квадратів:
(9.33??)
Можна довести, що визначник цієї системи завжди відмінний від нуля, тому система має єдиний розв’язок, тобто функція має єдину стаціонарну точку. Оскільки і необмежена зверху, то вона повинна мати мінімум, а значить знайдена стаціонарна точка і є точкою мінімуму. Обчислені значення підставляємо в (9.32) і отримуємо емпіричну формулу для залежності .
Табличний метод застосовується і для підбору емпіричних формул інших типів.
Приклад. Апроксимувати многочленом першого степеня функцію, задану таблицею
|
– 1,5 |
– 1,0 |
0 |
0,5 |
1,5 |
2,0 |
|
– 0,6 |
0,2 |
0,6 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
Обчислимо коефіцієнти нормальної системи:
Записуємо нормальну систему:
Розв’язуючи цю систему, отримуємо
Відповідь Пропонуємо зобразити на графіку експериментальні точки і графік отриманої лінійної функції.