- •Диференціальне числення функцій кількох змінних.
- •9.2. Функція кількох змінних.
- •9.3. Границя і неперервність функції кількох змінних.
- •9.4. Частинні похідні. Диференційованість функції.
- •9.5. Повний диференціал і його застосування
- •9.6. Диференціювання складних функцій.
- •9.7. Неявні функції та їх диференціюванн.
- •9.8. Скалярне поле. Градієнт і похідна за напрямом.
- •Формула Тейлора для функції кількох змінних.
- •Метод найменших квадратів.
- •Умовний екстремум.
- •Метод виключення (або метод підстановки).
- •Метод множників Лагранжа.
- •Найменше і найбільше значення функції в замкненій області.
- •1) Знаходимо критичні точки
9.6. Диференціювання складних функцій.
Нехай функція двох змінних , при чому кожна з них є функцією незалежної змінної , тобто . Тоді функція буде складеною функцією змінної (природне узагальнення поняття складеної функції з одним проміжним аргументом, визначеною у п. 6.3). Розглянемо питання про відшукання похідної цієї функції.
Теорема. Якщо функції і диференційовані в точці , де , то складена функція також диференційована в точці , при чому
. (9.11)
Справді, надамо змінній приросту . Тоді функції і отримають прирости і , а функція в свою чергу приріст . Оскільки диференційована в точці , то
,
де – нескінченно малі при .
Поділимо обидві частини рівності на :
.
Оскільки і диференційовані в точці , то
і, крім того і неперервні в точці , отже , звідки
Таким чином існує границя
,
що й потрібно було довести.
Зокрема, якщо , то
і ми маємо
. (9.11а)
Цю формулу називають формулою для обчислення повної похідної (на відміну від частинної похідної ).
Приклади.
-
Вивести формулу для похідної показникові – степеневої функції .
Маємо: , отже за формулою (9.11):
(9.12)
Наприклад
.
-
Знайти частинну і повну похідну функції , якщо .
Частинна похідна дорівнює .
Повна похідна згідно з формулою (9.11а) дорівнює:
.
Міркування, цілком аналогічні використаним при доведенні формули (9.11), дозволяють узагальнити формулу (9.11) на випадок кількох незалежних змінних і трьох та більше проміжних аргументів. Якщо, наприклад, функції диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де , то складена функція двох змінних також диференційована в точці , при чому
(9.11б)
9.7. Неявні функції та їх диференціюванн.
В багатьох задачах функція однієї змінної визначається не безпосереднім законом залежності змінної від змінної , а рівнянням, яке пов’язує значення і , і в загальному випадку має вигляд
(9.13)
Про функцію, задану таким чином, кажуть, що вона задана неявно або є неявною.
Поняття неявної функції однієї змінної було запроваджене і обговорене вище,
в п. 6.5. В п. 7.4. було дано рекомендації щодо відшукання похідної такої функції.
Тут ми розглянемо умови існування неявної функції і вкажемо загальний вигляд її похідної.
Теорема (про достатні умови існування неявної функції).
Нехай
1) функція визначена і неперервна разом із своїми частинними похідними в деякому околі точки ;
2) ;
3) .
Тоді існують такі і , що в області рівняння визначає як однозначну функцію змінної : , при чому
а)
б) на інтервалі функція неперервна і має неперервну похідну (див. рис. 9.9).
Р И С 9.9. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Відповідно до цієї теореми функція диференційована в околі точки . Знайдемо її похідну. Оскільки в околі , то в цьому околі повна похідна
.
Запишемо повну похідну за формулою (9.11а):
,
звідки
. (9.14)
При цьому значення і повинні задовольняти рівняння (9.13), так що по суті значення похідної визначається системою рівнянь (9.13) і (9.14).
Приклад. Знайти похідну функції , заданої рівнянням
.
Обчислити значення та .
Тут , ,
, отже, згідно з (9.14)
.
Підставляючи в рівняння, що визначає функцію, , отримуємо . Це рівняння має єдиний дійсний корінь , отже . Підставляючи у вираз похідної, отримуємо
.
Зауваження. Рівняння з числом змінних 3 або більше може при відповідних умовах визначати неявну функцію кількох змінних. Розглянемо рівняння
(9.15)
Якщо парі чисел з деякої множини відповідає єдине значення , яке разом з та задовольняє рівняння (9.15), то це рівняння задає неявну функцію двох змінних . Формули для частинних похідних цієї функції виводяться цілком аналогічно до формули (9.14):
(9.16)
Приклад. Знайти частинні похідні функції , заданої неявно рівнянням
Тут ;
.
За формулою (9.16)
.