Статистическая физика / Решение задач для практических занятий

Подставляя		, находим выражение для плотности	в
пределе низких температур

откуда с учетом определения энергии Ферми							для электронов
следует

21

Задача № 13. Определить теплоемкость идеального электронного газа, приходящуюся на единицу объема, как функцию плотности и температуры при условии , где – химический потенциал. Использовать для рассматриваемых условий соотношение

где

Решение:
Будем определять теплоемкость	идеального электронного
газа как

где	– внутренняя энергия,	приходящаяся на единицу объема,
задана как функция плотности		и температуры .

В рамках большого канонического распределения внутренняя энергия электронного газа, определяемая как функция температуры и химического потенциала, равна

где коэффициент 2 обусловлен вырождением, связанным со спином электрона, , – масса электрона. Переходя в интеграле к сферическим координатам и переменной , находим

22

где

.

Согласно условию задачи при условии

Подставляя , находим выражение для внутренней энергии электронного газа в пределе низких температур

Однако для вычисления теплоемкости нам необходимо

выражение для внутренней энергии		электронного газа как
функции плотности	и температуры	. С нужной нам точностью
химический потенциал	равен

Следовательно, в пределе низких температур внутренняя энергия электронного газа как функция плотности и температуры имеет вид

В результате в пределе низких температур теплоемкость равна

23

Задача № 14. Определить давление идеального электронного газа как функцию плотности и температуры при условии , где – химический потенциал. Использовать для рассматриваемых условий соотношение

где

Решение:

В рамках большого канонического распределения большой термодинамический потенциал электронного газа, определяемый как функция температуры , химического потенциала и объема

, занимаемого системой, равен

где коэффициент 2 обусловлен вырождением, связанным со спином электрона, , – масса электрона. Учитывая, что при использовании большого канонического распределения давление

, нетрудно убедиться, что

Переходя в интеграле к сферическим координатам и переменной , находим

24

Выполнив в интеграле интегрирование по частям, получаем соотношение, связывающее давление и внутреннюю энергию идеального газа:

Согласно условию задачи при условии

Подставляя , находим выражение для давления электронного газа в пределе низких температур

Однако нам необходимо выражение для давления

электронного газа как функции плотности	и температуры . С
нужной нам точностью химический потенциал	равен

Следовательно, в пределе низких температур давление электронного газа равно

25

Задача № 15. Определить теплоемкость	идеального газа бозонов
с нулевым спином, приходящуюся на	единицу объема, при

температуре	, где	– температура конденсации Бозе –
Эйнштейна, учитывая, что химический потенциал			и

Решение:

Будем определять теплоемкость

идеального газа бозонов

как

где – внутренняя энергия, приходящаяся на единицу объема, как функция плотности и температуры .

В рамках большого канонического распределения внутренняя энергия идеального газа бозонов с нулевым спином как функция температуры и химического потенциала равна

где

,

– масса частицы. Учитывая, что при

температуре

, где

– температура конденсации Бозе –

Эйнштейна, химический потенциал

, и переходя в интеграле к

сферическим координатам и переменной

, находим

26

где		– тепловая длина волны де Бройля.

Следовательно,

Таким образом, при температуре	теплоемкость
идеального газа бозонов пропорциональна	.

27

Задача № 16. Определить температурную зависимость плотности числа частиц с импульсом (плотности конденсата Бозе – Эйнштейна) в идеальном газе бозонов с нулевым спином при

заданной плотности числа частиц и температурах	, где –
температура конденсации Бозе –Эйнштейна, учитывая, что

Решение:

Химический потенциал идеального газа бозонов с нулевым спином при заданной плотности числа частиц обращается в нуль при температуре конденсации Бозе –Эйнштейна , определяемой условием:

где , – масса частицы. Переходя в интеграле к сферическим координатам и переменной , находим

где		– тепловая длина волны де

Бройля. Следовательно,

Ниже этой температуры химический потенциал идеального газа бозонов с нулевым спином при фиксированной

плотности	тождественно равен нулю	вплоть до
		28

абсолютного нуля температуры. При этом уравнение для плотности числа частиц принимает вид

где	– плотность числа частиц с импульсом	(плотность
конденсата Бозе –Эйнштейна). Следовательно,

Впоследнем равенстве учтено определение температуры

конденсации Бозе –Эйнштейна . Таким образом, плотность конденсата Бозе –Эйнштейна при заданной плотности числа частиц

равна

Следовательно,

и

.

29

Задача № 17. Определить температурную зависимость химического

потенциала	идеального газа бозонов с	нулевым	спином	при
заданной плотности числа частиц и температурах			, где	–
температура конденсации Бозе –Эйнштейна

Учесть, что

Решение:

Химический потенциал идеального газа бозонов с нулевым спином при заданной плотности числа частиц обращается в нуль при температуре конденсации Бозе –Эйнштейна , определяемой равенством:

Ниже этой температуры химический потенциал идеального газа бозонов с нулевым спином при фиксированной

плотности	тождественно равен	нулю	вплоть до
абсолютного нуля температуры.
При температурах		химический	потенциал
отрицателен	, а его величина при заданной плотности

определяется из условия

30