Статистическая физика / Решение задач для практических занятий

и не зависит от параметра потенциала . При температурах
второй вириальный коэффициент отрицателен, при	–
положителен.

41

Задача № 22. Используя интерполяционную формулу Дебая для внутренней энергии твердого тела:

где	– энергия кристаллической решетки из	атомов в
объеме ,	– температура	Дебая,	–

скорость звука, показать, что теплоемкость твердого тела при низких температурах удовлетворяет закону Дебая, а при высоких температурах – закону Дюлонга и Пти.

Решение:

Из интерполяционной формулы Дебая для внутренней энергии следует, что теплоемкость твердого тела определяется формулой:

При низких температурах	аргумент функции Дебая
велик. Поэтому представляем функцию Дебая		в виде

раскладываем функцию	в подынтегральном выражении
второго интеграла по степеням	и интегрируем каждый член

этого разложения. В результате находим, что при

Подставляя этот результат в выражение для теплоемкости, получаем закон Дебая:

42

При высоких температурах		аргумент функции Дебая
мал. При	прямое разложение подынтегрального выражения
по степеням	и последующее интегрирование дают

поэтому в первом приближении . Подставляя этот результат в выражение для теплоемкости, получаем закон Дюлонга и Пти:

43

Задача № 23. Используя интерполяционную формулу Дебая для свободной энергии твердого тела:

где	– энергия	основного	состояния кристаллической
решетки из	атомов в	объеме ,	–
температура	Дебая,	– скорость	звука, показать, что для

термического коэффициента давления выполняется равенство:

Здесь – давление,

– теплоемкость,

.

Решение:

Из интерполяционной формулы Дебая для свободной энергии следует, что давление твердого тела равно:

Учитывая определение функции Дебая, находим

Подставляя это выражение в формулу для давления, а также учитывая, что

получаем для давления твердого тела

44

С другой стороны, из интерполяционной формулы Дебая для свободной энергии следует, что средняя энергия твердого тела равна

Следовательно, давление твердого тела можно представить в

виде

Учитывая, что теплоемкость

, находим

что и требовалось доказать.

45