1. Лекции Термодинамика (УЭИ)

120

Из уравнения (7.27) можно записать:

Из уравнения адиабаты можно получить

Подставив выражения (7.30) и (7.31) в формулу (7.28), получим:

Сравнивая выражение (7.32) с формулой Лапласа для расчета скорости звука , можно сделать вывод, что критическая скорость истечения потока газа из сопла равна локальной скорости звука (при и ). Это позволяет объяснить наблюдаемые расхождения расчетных зависи-

мостей и с экспериментальными данными.

Из курса физики известно, что упругие деформации (изменение давления среды) распространяются в среде с местной скоростью звука . Поэтому уменьшение давления среды за соплом передается до устья сопла со скоростью звука. До тех пор, пока скорость истечения будет меньше скорости звука в данной среде, уменьшение внешнего давления среды будет достигать устья сопла, в котором устанавливается давление .

Но как только скорость газа достигнет скорости звука, никакое уменьшение давления окружающей среды к устью сопла передаваться не может (оно как бы сносится струёй газа, имеющей ту же скорость). Начиная с этого момента

121

дальнейшее понижение давления в пространстве за соплом не изменит установившегося в устье сопла давления , скорости и максимального рас-

хода . Вследствие этого скорость и расход газа остаются постоянными. Параметры газа, при которых устанавливается максимальный расход,

называются критическими . Очевидно, что критическая скорость

истечения равна скорости распространения звука в вытекающей среде. Поэтому

критическая скорость истечения называется звуковой.

Т.о., в зависимости от отношения давлений можно выделить три характерных режима истечения газа из сопла (таблица 7.2):

•при - докритический,

•при - критический

•при - сверхкритический режимы.

	При докритическом режиме истечения		в сопле происходит
полное расширение газа с понижением давления от			до	, на срезе сопла
	, скорость на выходе меньше скорости звука, располагаемая рабо-
та	полностью расходуется на увеличение кинетической энергии газа.
	При критическом режиме	также происходит полное расши-
рение газав пределах сопла, на срезе сопла				,

скорость на выходе равна критической скорости звука, располагаемая работа

полностью расходуется на увеличение кинетической энергии газа.

При сверхкритическом режиме в пределах сопла происходит

неполное расширение газа, давление понижается только до критического, на срезе сопла , скорость на выходе равна кри-

тической скорости звука. Дальнейшее расширение газа и понижение его давления до осуществляется за пределами сопла. На увеличение кине-

тической энергии расходуется только часть располагаемой работы процесса 1- 2, соответствующая заштрихованной площади, другая ее часть, соответствующая падению давления от до .остается нереализованной.

7.2.2 Форма каналов сопл и диффузоров

Зависимость профиля сопла от скорости (взаимосвязь между площадью канала и скоростью истечения) устанавливается из уравнения постоянства расхода или уравнения неразрывности (7.1).

Запишем уравнение неразрывности в виде:

Продифференцировав (7.33) с учетом

:

122

Таблица 7.2 – Характерные режимы истечения газа из сопла

Режим истечения

Докритический

Критический

Сверхкритический

P

1 P1

lрасп

2 P2

P

1

P1

lрасп

2 P2=Pкр

P	1
P1
	lрасп
P	2
кр
P2

c	v
	w2<c
w

v

c

w2=c

w

c	v
	w2=c
w

Скорость истечения

Скорость истечения

Массовый расход

Массовый расход

123

Поделив уравнение (7.34) на уравнение (7.33), получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме:

Или

Из уравнения (7.36) следует, что степень изменения сечения сопла по направлению движения потока газа зависит от знака выражения в правой части. Относительное изменение сечения сопла можно выразить как функцию давления. Из уравнения адиабатного процесса в дифференциальной форме (5.34) выразим отношение :

Из выражения (7.18) выразим отношение:

Подставим полученные значения относительных изменений удельного объема (7.37) и скорости (7.38) в уравнение (7.36) и получим:

Обозначив отношение скорости истечения к местной скорости звука через (число Маха), получим:

Это уравнение устанавливает влияние геометрической формы канала на изменение давления в потоке и скорости (таблица 7.3).

124

Таблица 7.3 – Геометрическая форма сопл и диффузоров при различных режимах течения

Скорость	Сопло	Диффузор
потока
дозвуковые
скорости

сверхзвуковые

скорости

Таким образом, в зависимости от скорости газа на входе один и тот же канал может быть и соплом и диффузором.

7.2.3 Комбинированное сопло Лаваля

Ранее было выяснено, что максимальная скорость истечения из простого суживающегося сопла не может превышать локальной скорости звука. Данные таблицы 7.3 позволяют понять, как можно достичь сверхзвуковых скоростей истечения:

•	в дозвуковой области (M < 1)	сопло должно
быть суживающимся;
• в сверхзвуковой области (M > 1) сопло должно быть расширяющимся.
Следовательно, если газ с начальными параметрами и		истекает в
среду с давлением	и требуется получить скорость	, то соп-

ло должно сначала суживаться, а затем расширяться к выходу (рисунок 7.4), то есть сопло должно быть комбинированным.

Комбинированное сопло Лаваля предназначено для использования больших перепадов давления и для получения скоростей истечения, превышающих критическую или скорость звука.

При истечении газа из комбинированного сопла в окружающую среду с давлением меньше критического в самом узком сечении сопла устанавливается

критическое давление		, критическая скорость	и максимальный рас-
ход	. В расширяющейся насадке сопла происходит дальнейшее увеличе-

ние скорости газа и падение давления до давления внешней среды (рисунки 7.5, 7.6). Зависимость массового расхода в сопле Лаваля от перепада давлений выглядит так же, как и для суживающегося сопла (рисунок 7.3). Поскольку

125

сопло Лаваля применяется при, то и массовый расход газа остается

неизменным, равным максимальному.

Определение параметров сопла Лаваля.

Скорость газа в узком сечении определяется по уравнению (7.28), а на выходе из сопла по уравнению (7.21).

Секундный расход идеального газа при заданном определяется по формуле (7.29), при заданном – по формуле (7.24).

При заданном расходе m площадь минимального сечения сопла

(и, следовательно, минимальный диаметр d) определится из уравнения (7.29):

а площадь выходного сечения (и диаметр D) – из уравнения (7.24):

Длина суживающейся части обычно берется равной диаметру выходного сечения сопла D.

Длина расширяющейся части сопла L определяется из геометрического соотношения:

где D – диаметр выходного сечения сопла,

d – диаметр сопла в минимальном сечении,

– угол конусности, который выбирается из условия безотрывного течения и составляет: . При больших углах наблюдается отрыв струи от стенок канала.

126

		w2>wкр
		wкр
Ω	d	D

L

Рисунок 7.4 – Схема комбинированного сопла Лаваля.

w

wmax

wкр

T

v

p

w

c

0	βкр	1 β	длина сопла
Рисунок 7.5 – Зависимость скорости			Рисунок 7.6 – Изменение параметров
истечения из комбинированного сопла			газа по длине сопла Лаваля
	Лаваля от

127

7.2.4Истечение газов с учетом трения

Вотличие от теоретического изоэнтропийного действительный процесс истечения реального газа происходит при трении частиц газа между собой и о стенки канала. При этом работа, затрачиваемая на преодоление сил трения, преобразуется в теплоту, в результате чего температура и энтальпия газа в выходном сечении канала возрастают. Истечение газа с трением становится необ-

ратимым процессом и сопровождается увеличением энтропии.

При адиабатном течении, когда, располагаемая работа определя-

ется:

При необратимом истечении газа располагаемая работа при том же перепаде давления меньше, т.к. энтальпия в конечном состоянии будет больше за счет теплоты трения. Практически расчет ведется для идеального (обратимого) процесса течения, а необратимость процесса учитывается эмпирическими коэффициентами, которые всегда меньше 1. В качестве таких коэффициентов ча-

ще всего используются скоростной коэффициент , коэффициент потери энергии ψ и КПД канала ηк.

Отношение действительной скорости газа к теоретической назы-

вается коэффициентом скорости (или скоростным коэффициентом):

Для хорошо обработанных каналов.

Отношение действительной кинетической энергии рабочего тела к теоретической называется КПД канала:

Коэффициент потери энергии показывает, какая доля кинетической энергии потока теряется из-за необратимости процесса истечения:

С учетом выражений (7.46) и (7.47):

128

7.2.5 Истечение водяного пара

Водяной пар существенно отличается от идеального газа, для которого получены приведенные выше термодинамические формулы. Поэтому наиболее целесообразно расчет процессов истечения водяного пара производить по таблицам водяного пара или термодинамическим диаграммам, используя уравнения (7.19) и (7.20), полученные из уравнения 1-го начала термодинамики для

потока и справедливые для реального вещества.
	На рисунке 7.7 показаны идеальный адиабатный				и действитель-
ный	процессы истечения водяного пара из сопла на					и	диа-
граммах.
T			h
					1 P1
							P2
	К	1	P1
					2a	2д	P0
			P2	К

2д 2a P0

s

s

Рисунок 7.7 – Процесс истечения водяного пара в и координатах

Скорость истечения определяется по уравнению (7.20):

где - энтальпия в начальной точке 1, лежащей на пересечении изобары

и изотермы T1;

- энтальпия в точке 2 при параметрах пара на срезе сопла.

В условиях изоэнтропийного истечения положение точки определяется по пересечению адиабаты, исходящей из точки 1, и изобары статического давления на срезе сопла. При истечении из суживающегося сопла зависит от режима истечения: при докритическом и критическом режимах

., при сверхкритическом . При истечении пара из соп-

ла Лаваля

равно давлению окружающей среды

..

129

Трудность возникает в определении критического отношения давления. С некоторой погрешностью, приемлемой для практических расчетов, вы-

числяют по уравнению (7.27), полученному для идеального газа. При этом для приближенных расчетов можно принять для перегретого пара значение , а для сухого насыщенного пара (таблица 7.1).

Отличие реального процесса истечения пара при наличии трения от теоретического изоэнтропийного учитывают с помощью одного из поправочных коэффициентов, описанных в п.7.2.4.Значение энтальпии в конце действительного процесса истечения можно определить из соотношения:

Положение на	диаграмме действительной конечной точки
2д(рисунок7.7) находят по пересечению линии		с изобарой	.
Действительный необратимый процесс истечения		сопровождается
увеличением энтропии. Энтальпия пара в конце действительного процесса ис-

течения (точка), как уже говорилось выше, оказывается больше энтальпии в

конце идеального истечения (точка	) за счет теплоты трения.
Действительную скорость истечения пара		можно рассчитать из

уравнений (7.45) и (7.49):

Массовый расход пара определяется по уравнению расхода (7.1):в суживающемся сопле - по параметрам в выходном сечении ; в сопле Лаваля - по параметрам в выходном, или в узком(критическом) сечении

.

7.3 Дросселирование газов и паров

Если на пути движения потока газа или пара имеется резкое сужение канала, которое создает местное сопротивление потоку, то в месте сужения сечения канала скорость потока резко возрастает, а давление падает (рисунок 7.8).

За сужением скорость потока восстанавливается до первоначального значения, но давление не может восстановиться полностью из-за потерь энергии на преодоление местного сопротивления.

Явление понижения давления потока в результате его прохождения через местное сопротивление без совершения внешней работы называется дроссели-

рованием.