1. Лекции Термодинамика (УЭИ)

70

• Ts - диаграмма. Теплота, подведенная в процессе, изображается на Ts -

диаграмме площадью под линией процесса. Процесс 1–2		сопро-
вождается подводом теплоты	Процесс 1–2’	сопровож-
дается отводом теплоты

В изотермическом процессе вся подводимая к газу теплота полностью идет на совершение работы, причем термодинамическая и располагаемая работы равны между собой. При сжатии от газа отводится теплота, равная работе, затраченной на сжатие.

5.2.4 Адиабатный процесс ( )

Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой.

а) Уравнение процесса

I закон термодинамики (3.23, 3.25) для идеального газа в случае адиабатного процесса выглядит следующим образом:

Разделив первое уравнение на второе, получим

Обозначив и разделив переменные в уравнении (5.33), получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Проинтегрировав уравнение (5.34), получим:

В окончательном виде уравнение адиабаты (уравнение Пуассона) выгля-

дит следующим образом:

71

где	– показатель адиабаты или коэффициента Пуассона.
	Поскольку из уравнения Майера (3.42) следует, что	, показатель

адиабаты всегда больше единицы .

Молекулярно-кинетическая теория газов позволяет рассчитать значения показателя адиабаты. С учетом формул (3.46) получим:

где – число степеней свободы молекулы газа.
Результаты расчетов показателя адиабаты	по формуле (5.37) пред-
ставлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1–Показатель адиабаты идеальных газов согласно молекулярнокинетической теории газов

Атомность газа	Число степеней свободы,i	k
Одноатомный	i = 3 пост.	1,67
Двухатомный	i = 3 пост. + 2 вр.	1,4
Трех- и многоатомный	i = 3 пост.+ 3 вр.	1,33

Уравнение адиабаты устанавливает следующую связь между парамет-

рами:

1)взаимосвязь между давлениями и объемами

2)взаимосвязь между температурами и давлениями

Воспользуемся обобщенным законом Бойля - Мариотта и Гей - Люс-

сака (2.4):

72

Заменяя в выражении (5.39) уравнением (5.38), получим:

3) взаимосвязь между температурами и объемами

Заменяя в выражении (5.39)

уравнением (5.38), получим:

б) Изменения калорических параметров состояния:

изменение внутренней энергии определяется по общей формуле (5.1); изменение энтальпии определяется по общей формуле (5.2) изменение энтропии в адиабатном процессе равно 0 (δq = 0):

Адиабатный процесс является изоэнтропным.

в) Работа процесса:

• Термодинамическая работа.

Для того чтобы определить термодинамическую работу адиабатного процесса по формуле (5.7) необходимо в явном виде задать зависимость

:

Подставляя выражение (5.43) в формулу (5.7), получим:

73

Используя уравнение состояния идеального газа и формулы (5.38) – (5.41), легко получить следующие выражения для термодинамической работы адиабатного процесса:

Из I-го закона термодинамики следует:

В адиабатном процессе термодинамическая работа равна изменению внутренней энергии, взятому с обратным знаком. Т.е. в адиабат-

ном процессе вся работа расширения совершается за счет уменьшения внутренней энергии.

• Располагаемая (потенциальная) работа.

Из уравнения (5.34) следует:

т.е. в адиабатном процессе располагаемая работа в k раз больше термодинамической. Подставив (5.44) – (5.46) в (5.48), получим:

Из I-го закона термодинамики следует:

74

В адиабатном процессе располагаемая работа равна изменению энтальпии, взятому с обратным знаком. Т.е. в адиабатном процессе вся располагаемая работа совершается за счет уменьшения энтальпии.

г) Количество теплоты, подведенной (отведенной) в адиабатном процессе по определению равно 0:

е) Графическое изображение процесса в - и - координатах.

Изображение адиабатного процесса представлено на рисунке 5.4.

P	2'	T

lрасп < 0

1

lрасп > 0

0	2
<
lтерм	lтерм > 0

2'

1

2

v

s

Рисунок 5.4 – Адиабатный процесс

•- диаграмма. Согласно уравнению (5.36) адиабата представляет собой неравнобокую гиперболу.

При адиабатном расширении (процесс 1-2) вся термодинамическая работа расширения совершается за счет уменьшения внутренней энергии, т.е. уменьшения температуры. При сжатии (процесс 1-2’) внутренняя энергия увеличивается и температура возрастает.

Располагаемая работа при адиабатном расширении (процесс 1-2) совершается за счет уменьшения энтальпии газа.

•Tsдиаграмма. Поскольку и энтропия газа не изменяется адиабатный процесс в Ts – координатах изображается верти-

кальной линией.

75

5.3 Политропные процессы ()

Политропным называется процесс, протекающий с постоянной теплоемкостью .

а) Уравнение процесса

Из I-го закона термодинамики (3.23, 3.25):

Разделив первое уравнение на второе, получим:

Разделим переменные:

Интегрируя уравнение (5.55), получим:

В окончательном виде уравнение политропы выглядит так:

где	показатель политропы.
	Показатель политропы является характеристикой процесса. Он может
принимать любые значения		Однако, в конкретном процес-
се (1-2)		. В ряде случаев политропный процесс явля-

ется удачной схемой для описания процессов, происходящих в тепловых машинах.

76

Физический смысл показателя политропы.

Из (5.53) получим:

Это значит, что постоянный показатель политропы в процессе 1-2 равен отношению потенциальной работы к термодинамической работе.

Графический смысл показателя политропы.

Уравнение (5.56) показывает, что в логарифмической системе координат политропа изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой равен показателю политропы (рисунок 5.5):

ln P

1

ln P1

2

ln P2

a

ln v1

ln v2

ln v

Рисунок 5.5 – Политропный процесс в логарифмической системе координат

Уравнение (5.59) позволяет численно определить показатель политропы для данного процесса. Зная показатель политропы, из выражения (5.54) можно рассчитать величину теплоемкости рассматриваемого процесса:

77

При соответствующем выборе формула (5.60) дает значения теплоемкостей для рассмотренных ранее частных процессов. Зависимость теплоемкости политропных процессов от значения показателя политропы представлена на рисунке 5.6.

c
c	p

cv

0

1

k

n

Рисунок 5.6 – Зависимость теплоемкости процесса от показателя политропы .

Поскольку уравнение политропы (5.57) аналогично уравнению адиабаты (5.36), вывод выражений взаимосвязи между начальными и конечными параметрами также совершенно аналогичен формулам (5.38) – (5.41), только вместо показателя адиабаты используется показатель политропы .

б) Изменения калорических параметров состояния:

изменение внутренней энергии определяется по общей формуле (5.1); изменение энтальпии определяется по общей формуле (5.2) изменение энтропии в политропном процессе (см. уравнение (5.60)):

78

Подставив (5.60) в (5.63), получим

в) Работа процесса:

• Термодинамическая работа.

Вывод выражений для расчета термодинамической работы такой же, как и для адиабатного процесса (уравнения (5.43) – (5.46)), только вместо показателя адиабаты используется показатель политропы .

•Располагаемая (потенциальная) работа.

Из уравнения (5.58) следует, что в политропном процессе располагаемая

работа в раз больше термодинамической. С учетом формул (5.65) – (5.67) получим следующие выражения для расчета располагаемой работы:

79

г) Количество теплоты.

С учетом выражения (5.60), получим:

е) Графическое изображение процессов в - и - координатах.

Политропный процесс охватывает все основные термодинамические процессы, протекающие при постоянной теплоемкости. Основные термодинамические процессы (изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный), если они протекают при постоянной теплоемкости, являются частными случаями политропного процесса.

Коэффициент распределения энергии показывает, какая доля подведенной теплоты расходуется на изменение внутренней энергии (нагрев газа):

Значения показателя политропы, теплоемкости и коэффициента распределения энергии для основных термодинамических процессов приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2 - Характеристики основных термодинамических процессов

		Характеристика
	Показатель политропы		Теплоемкость	Коэффициент
Процесс				распределения энергии
Изохорный				1
Изобарный	0
Изотермический	1			0
Адиабатный			0