Условная вероятность. Независимость событий.
Условной вероятностью события относительно события А и В называется величина
Во многих задачах условные вероятности находятся из контекста проще, чем безусловные.
Если нам известна условная вероятность
, мы можем вычислить вероятность
произведения событий
:
Эта формула носит название формулы произведения и обобщается на случай произвольного числа событий:
Независимость событий
Определение 1.6 События
и
называются независимыми, если
Замечание 1.1 Если
и
независимы
и
, то
Аналогично, если А и В независимы (и
)
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).
Пример.
Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1?Событие А – деталь оказалась бракованной.
Гипотеза Н1 – деталь изготовлена в 1-м цехе; Р(Н1) = 2/3
Гипотеза Н2 – деталь изготовлена во 2-м цехе; Р(Н2) = 1/3
Условные вероятности события А: PH1(A)=0,05; PH2(A)=0,04
Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло:
PA(H1) - ?
Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероятности:
Формула Бернулли. Предельные теоремы.
Формула Бернулли
Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна
В формуле Бернулли используется число сочетаний.
Повторюсь, что для реализации схемы Бернулли необходимы два условия:
1) независимость проводимых испытаний;
2) p = const (постоянное значение вероятности появления события)
Распределение вероятностей в схеме Бернулли - биномиальное. Наивероятнейшее число появления события (мода) при n испытаниях заключено в пределах np-q ≤ Mo ≤ np+p,
Пример.
Система, составленная из четырёх блоков, работает исправно, если за рассматриваемый период выйдет из строя не более двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы блоков, если отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 1/8.
Вероятность того, что за рассматриваемый период ни один из блоков не выйдет из строя:
Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя один блок:
Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя два блока:
Вероятность безотказной работы системы:
