5. Мінори та алгебраїчні доповнення елемента визначника.

Означення. Мінором будь-якого елемента визначника -го порядку називається визначник -го порядку, одержаний з даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, в яких стоїть даний елемент.

Мінор елемента позначають .

Означення. Алгебраїчним доповненням будь-якого елемента визначника називається його мінор , взятий з знаком , тобто:

6. Теорема Лапласа та її наслідки.

Поняття мінора та алгебрїчного доповнення дають можливість одержати ще один метод обчислення визначників будь-якого порядку. Дійсно, розкривши визначник, перегрупувавши його члени, одержимо рівності:

або:

Ці рівності приводять нас до правила (теореми) Лапласа:

Визначник дорінює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 1. Якщо – алгебраїчні доповнення елементів -го рядка визначника, а – довільні числа, то сума добутків дорівнює визначнику n-го порядку, елементами I-го рядка в якому будуть числа , а інші співпадають з відповідними елементами даного визначника.

Наслідок 2. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Приклад. Обчислити визначник IV порядку, користуючись властивостями визначників.

Додаємо до елементів третього стовпця елементи другого стовпця, помножені на 2, а до елементів другого стовпця – елементи першого стовпця, одержимо:

Розкладемо одержаний визначник за елементами першого рядка; оскільки три елементи 1 рядка дорівнюють нулю, то обчислення визначника IV порядку зводиться до обчислення тільки одного визначника ІІІ порядку:

2. Поняття про матрицю. Види матриць.

   1. Поняття про матрицю

Прямокутна таблиця, що складається з чисел, розташованих в рядках і стовпцях, називається матрицею і записується так:

Числа називаються елементами матриці, перший індекс – номер рядка, а другий – номер стовпця.

Матриця називається прямокутною, якщо , і квадратною, якщо , тоді – порядок матриці.

Дві матриці називаються рівними, якщо у них однакове число рядків і стовпців і відповідні елементи рівні.

Матриця називається нульовою , якщо кожен її елемент дорівнює нулю.

Матрицею-рядком називається матриця, що складається з одного рядка.

Матрицею-стовпцем називається матриця, яка складається з одного стовпця .

Матриця , яку одержимо з матриці заміною рядків стовпцями, називається транспонованою відносно матриці :

Для матриці транспонованою буде – матриця.

Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна пряма, що з’єднує її елементи, індекси яких однакові. Ці елементи називають діагональними.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною. У діагональній матриці не всі діагональні елементи повинні бути відмінними від нуля.

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці. Позначають одиничну матрицю .

Визначником квадратної матриці називається визначник, елементами якого є елементи матриці , він позначається або .

Квадратна матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю і особливою (виродженою), якщо її визначник дорівнює нулю.

Приєднаною до квадратної матриці називається матриця того ж порядку, елементами якої являються алгебраїчні доповнення відповідних елементів визначника матриці , транспонованої до :