- •Поняття про визначник. Властивості визначників.
- •Поняття про визначник іі порядку.
- •Визначник ііі порядку.
- •Визначник - го порядку.
- •Властивості визначників
- •Мінори та алгебраїчні доповнення елемента визначника.
- •Теорема Лапласа та її наслідки.
- •Поняття про матрицю. Види матриць.
- •Поняття про матрицю
- •Дії над матрицями
- •Властивості дій над матрицями
- •Обернена матриця.
- •Означення рангу матриці.
- •Елементарні перетворення матриць.
- •Обчислення рангу матриці.
- •Поняття лінійної залежності.
- •Теорема про ранг матриці.
- •Поняття про слар та її розв’язки.
- •Поняття про систему рівнянь та її розв’язки.
- •Сумісність слар. Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Методи розв’язання слар
- •Правило Крамера розв’язуванння системи n рівнянь з n невідомими.
- •Матричний метод розв‘язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.
- •Метод Гауса.
- •Класифікація систем за кількістю розв’язків.
Класифікація систем за кількістю розв’язків.
При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса можемо отримати наступні випадки:
якщо одне з рівнянь набуває вигляду , то система несумісна;
якщо система набуває трикутного виду і кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв'язок (тобто система сумісна і визначена);
якщо система має менше рівнянь, ніж невідомих, то вона сумісна і невизначена.
Припустимо, що в системі залишилось рівнянь з невідомими . Будь-які змінних (невідомих) системи лінійних рівнянь з змінними (невідомими) називаються основними, якщо визначник із коефіцієнтів при них відмінний від нуля, а інші – неосновними (або вільними).
Основними можуть бути різні групи із т змінних. Кількість різних способів вибору т змінних із загального їх числа скінченна і дорівнює числу комбінацій із елементів по т, тобто . Отже, кількість способів розбиття змінних системи на основні і неосновні обмежена цим числом.
Із нескінченної множини розв’язків системи лінійних рівнянь з невідомими виділимо так звані базисні.
Базисним розв'язком системи т лінійних рівнянь з п невідомими називається всякий її розв’язок, в якому неосновні змінні мають нульові значення. Кожному розбиттю змінних системи на основні і неосновні відповідає один базисний розв’язок. Отже, існує не більше ніж базисних розв'язків системи.
Якщо в базисному розв'язку деякі основні невідомі рівні нулеві, то такий базисний розв’язок називається виродженим.
Серед розв’язків системи т лінійних рівнянь з п невідомими, в тому числі і базисних, слід виділити ті, всі компоненти яких невід’ємні.
Базисний розв'язок системи т лінійних рівнянь з п невідомими називається допустимим, якщо всі компоненти його невід’ємні, і недопустимим, якщо хоча б одна компонента від’ємна.
Практично для розв’язування систем лінійних рівнянь спрощують не систему, а розширену матрицю системи:
Над матрицею виконують елементарні перетворення: змінюють порядок рядків, множать рядки на відмінне від нуля число, до будь-якого рядка матриці додають інший, помножений на деяке відмінне від нуля число. Внаслідок таких перетворень кожен раз одержують розширену матрицю системи, рівносильну даній.
Приклад. Розв’язати систему:
Розв’язання. Прямий хід методу. Записуємо розширену матрицю системи і виконуємо над нею елементарні перетворення:
Зворотний хід методу. За останньою матрицею відновлюємо систему рівнянь:
З неї послідовно отримуємо: . Шуканий розв’язок:
Приклад. Розв’язати систему:
Розв’язання.
Нехай – основні (базисні) змінні; – неосновні (вільні).
Загальний розв’язок системи: .
Поклавши , отримаємо базисний розв’язок:
.
Приклад. Розв’язати систему:
Розв’язання.Прямий хід: .
Зворотний хід : Оскільки , то система несумісна.
Однорідні лінійні рівняння — це рівняння, вільні члени яких рівні нулю.Система однорідних рівнянь завжди сумісна, оскільки має нульовий розв'язок ( , так як ). Важливим є питання: при якій умові система має ненульові розв'язки, тобто є невизначеною? Відповідь дають наступні теореми.
Теорема 1. Для того, щоб однорідна система мала ненульові розв'язки, необхідно і достатньо, щоб ранг r її матриці коефіцієнтів був менше п.
Дійсно, якщо , то система має єдиний розв’язок: .
Якщо ж , то система невизначена (несумісною вона не буває), отже, має ненульові розв’язки серед множини розв’язків.
Із доведеної теореми випливає:
Теорема 2. Для того, щоб однорідна система п лінійних рівнянь з п невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю.
Твердження теореми 2 є частинним випадком теореми Кронекера-Капеллі.
Таким чином, нами розглянуто 3 методи розв’язування систем лінійних рівнянь. На відміну від матричного методу і методу Крамера, метод Гаусса дозволяє розв'язувати системи, в яких кількість рівнянь і кількість невідомих можуть бути різні. Ця суттєва відмінність привела до поширеності цього методу в лінійному програмуванні та при використанні комп’ютерних технологій.