- •Поняття про визначник. Властивості визначників.
- •Поняття про визначник іі порядку.
- •Визначник ііі порядку.
- •Визначник - го порядку.
- •Властивості визначників
- •Мінори та алгебраїчні доповнення елемента визначника.
- •Теорема Лапласа та її наслідки.
- •Поняття про матрицю. Види матриць.
- •Поняття про матрицю
- •Дії над матрицями
- •Властивості дій над матрицями
- •Обернена матриця.
- •Означення рангу матриці.
- •Елементарні перетворення матриць.
- •Обчислення рангу матриці.
- •Поняття лінійної залежності.
- •Теорема про ранг матриці.
- •Поняття про слар та її розв’язки.
- •Поняття про систему рівнянь та її розв’язки.
- •Сумісність слар. Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Методи розв’язання слар
- •Правило Крамера розв’язуванння системи n рівнянь з n невідомими.
- •Матричний метод розв‘язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.
- •Метод Гауса.
- •Класифікація систем за кількістю розв’язків.
Методи розв’язання слар
Правило Крамера розв’язуванння системи n рівнянь з n невідомими.
Застосуємо визначники та їх властивості до розв’язування системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.
Нехай дано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
де - коефіцієнти системи, - вільні члени. Якщо , система називається однорідною, якщо хоч один вільний член відмінний від нуля, – неоднорідною. Розв’язком системи називається будь-яка трійка чисел , що перетворює рівняння системи в тотожності.
Розглянемо визначник 3-го порядку, складений з коефіцієнтів при невідомих, назвемо його основним визначником системи:
Введемо також наступні позначення:
,
Припустивши, що , одержимо єдиний розв’язок системи:
Підставляючи знайдені значення в рівняння системи, переконуємося, що кожне з рівнянь перетворюється в тотожність. Пропонується зробити це самостійно.
Теорема (правило) Крамера. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який розв’язок знаходимо за формулами:
,
де - головний визначник системи, а – визначники, одержані з нього заміною відповідно І, ІІ, ІІІ, стовпця вільними членами.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь:
Розв’язання.
Нехай головний визначник системи дорівнює нулю. Якщо при цьому хоч один з визначників не дорівнює нулеві, то система несумісна.
Дійсно, якщо , то не виконується при кожному значенні . Якщо , то система або не має розв’язку, або має незчислену множину розв’язків.
Ми записали формули Крамера для розв’язування системи трьох рівнянь з трьома невідомими, ці формули справедливі і для n рівнянь з n невідомими, якщо :
.
Матричний метод розв‘язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:
Виведемо наступні позначення
;
Отже, – матриця коефіцієнтів при невідомих, – матриця-стовпчик із невідомих, – матриця-стовпчик вільних членів.
Тоді систему лінійних рівнянь з невідомими можна записати у матричній формі або:
Дійсно, виконавши множення в лівій частині, одержимо
Пригадавши означення рівності двох матриць одержимо дану систему рівнянь з невідомими.
Розв’язування матричних рівнянь.
Рівність являє собою матричне рівняння, в якому невідома матриця – стовпчик . Це рівняння можна розв’язати, якщо матриця – неособлива (тобто визначник системи не дорівнює нулю). В цьому випадку для матриці існує обернена матриця . Помноживши обидві частини матричного рівняння на зліва одержимо:
Останнюрівність називають розв’язком системи в матричній формі. Невідома матриця виражена через відомі матриці і .
Приклад. Розв’язати систему:
Розв’язання.
;
тоді маємо обернену матрицю та шуканий розв’язок:
;
Відповідь:
Метод Гауса.
Метод Гаусса розв’язування системи т лінійних рівнянь з п невідомими являє собою метод послідовного виключення змінних з рівнянь системи. Розв’язання СЛАР методом Гаусса можна умовно розділити на 2 етапи: прямий та зворотний хід.
Прямий хід методу Гауса саме і полягає в послідовному виключенні змінних (невідомих) з рівнянь системи.
Не порушуючи загальності, будемо вважати, що , в іншому випадку можна переставити невідомі. Отже, маємо систему:
Перший крок: за допомогою першого (робочого) рівняння з усіх наступних рівнянь виключимо х1, для чого перше помножимо на і віднімемо від другого, потім – на і віднімемо від третього і т.д. Одержимо систему, еквівалентну даній:
Припустивши, що , аналогічно виключимо з третього і наступних рівнянь (перше рівняння на даному етапі вже виконало свою місію і в подальших перетвореннях участі не бере, а переписується без змін; робочим тепер є друге рівняння).
Продовжуючи процес послідовного виключення невідомих, ми побачимо, що система набуває простішого виду.
Пропускаючи деякі моменти, зауважимо, що зворотний хід методу починається з відшукання (або вираження) певної змінної із останнього рівняння системи , після чого знаходять значення інших змінних (або виразів для них), послідовно повертаючись від останнього до першого рівняння.