2. Дії над матрицями

Сумою (різницею) двох матриць і називається матриця , елементи якої рівні сумі (різниці) відповідних елементів матриць і , тобто ( ).

Добутком матриці на довільне число називається матриця, елементами якої є добутки елементів матриці на

;

Добутком mp-матриці на pn-матрицю називається -матриця , елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів -го рядка матриці і -го стовпця матриці , тобто:

Добуток матриці на матрицю позначається . Добуток має зміст лише за умови, що кількість стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці

Приклад.

Властивості дій над матрицями

1. Добуток будь-якої матриці на одиничну матрицю відповідно порядку, як справа так і зліва, співпадає з матрицею , тобто:

Одинична матриця примноженні матриць відіграє ту ж роль що і одиниця при множенні чисел.

2. Добуток матриці на нуль-матрицю є нуль-матрицею.

3. Множення матриць не підлягає комутативному закону.

Матриці, які підлягають комутативному закону, називаються комутативними.

4. Добуток матриць підлягає асоціативному (сполучному) закону:

5. При множенні матриць виконується дистрибутивний закон:

6. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників. Якщо , то

3. Обернена матриця.

Означення. Оберненою до даної квадратної матриці називається така матриця , добуток на яку матриці справа є одиничною матрицею:

Теорема. Для кожної неособливої квадратної матриці існує обернена, притому тільки одна. Для особливої квадратної матриці обернена не існує.

Робоча формула для обчислення матриці , оберненої для матриці , має вигляд:

4. Означення рангу матриці.

Розглянемо прямокутну матрицю А, яка складається з т рядків та п стовпців:

.

Нехай і . Виділимо в цій матриці рядків і стовпців. Із елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, складtмо визначник -го порядку. Будь-який подібний визначник називається мінором матриці А.

Означення. Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці.

Якщо ранг матриці , то серед мінорів цієї матриці є принаймні один мінор -го порядку, відмінний від нуля. В той же час всі мінори -го і вищих порядків дорівнюють нулеві. Позначають ранг матриці через . Для обчислення рангу матриці її спочатку спрощують за допомогою елементарних перетворень.

5. Елементарні перетворення матриць.

До елементарних перетворень матриці відносять: транспонування; перестановку двох рядків (стовпців); множення всіх елементів рядка (стовпця) на довільне число ; додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів паралельного рядка (стовпця), помножених на одне і те ж число.

Теорема 1. (про елементарні перетворення). При елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.

6. Обчислення рангу матриці.

За допомогою елементарних перетворень будь-яку матрицю можна звести до матриці виду:

,

де на головній діагоналі стоять одиниць а всі інші елементи дорівнюють нулю. Ранг одержаної, а отже, і даної матриць дорівнює .

Приклад. За допомогою елементарних перетворень обчислити ранг матриці:

Розв’язання. Віднімаючи від ІІІ рядка подвоєний І і додаючи потроєний ІІ, одержимо:

Віднімаючи ІV стовпчик від I, II від IV, маємо:

Віднімаючи ІV стовпчик від I, скорочуючи II на 2 і віднімаючи від III, маємо:

Віднявши I від II, додавши ІV до III і помінявши місцями II і ІV стовпчик, маємо: