Контрольная по ВМ №12, вариант 5

565. Разложить функцию с периодом в ряд Фурье на отрезке

Построить график суммы ряда, а также графики первых частичных сумм

, , , на отрезке функция задана формулой.

Решение:

.

В нашем случае .

,

Следовательно:

.

.

575. Доопределяя необходимым образом заданную в промежутке (0,1) функцию f(х)=x², получить для нее: а) ряд Фурье по синусам; б) ряд Фурье по косинусам.

Решение:

А) Доопределим ф-цию f(х) на (-1;0] чётным образом. Тогда

.

.

.

Б) Доопределим ф-цию f(х) на (-1;0] нечётным образом. Тогда

585. Найти комплексную форму ряда Фурье периодической с периодом 2l функции f(х) и

найти сумму полученного ряда в точке 1, если:

Решение:

.

.

Так как в точке - непрерывна, то

.

595. Найти спектральную плотность S(ω) непериодического сигнала S(t), заданного формулой:

Решение:

.

605. Методом Фурье найти уравнение u=u(x,t) формы однородной струны для любого момента t, если струна закреплена на концах х=0 и х=l и в начальный момент t=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями

,

Решение:

Найдём коэффициенты ряда Фурье:

.

;

.

.

.