Контрольная по ВМ №7, вариант 5

345. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

.

Решение:

Приведём уравнение к виду.

;

;

.

Проверим, является ли уравнение однородным.

.

Уравнение является однородным, поэтому применяем подстановку

, , .

Тогда:

;

;

;

;

;

;

.

Ответ: .

355. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным

начальным условиям.

, , .

Решение:

Рассмотрим соответствующее однородное линейное уравнение

.

Его характеристическое уравнение

,

, значит

;

.

Найдём частное решение неоднородного уравнения .

.

, .

- не корень характеристического уравнения.

Тогда решение ищем в виде

;

;

;

;

;

;

;

, .

.

, .

- не корень характеристического уравнения.

Значит .

Частное решение будет в виде

.

;

.

;

;

, .

.

Искомое частное решение:

.

Общее решение неоднородного диф. ур-я:

.

.

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

.

Ответ: .

365. Найти общее решение системы уравнений.

Решение:

Запишем систему в матричной форме:

.

Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:

, .

.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

;

.

Найдём

.

Ответ: , .

375. По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между

температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20⁰С и тело в

течение часа охлаждается от 100 до 30⁰С, то через сколько минут (с момента начала

охлаждения) его температура понизится до 60⁰С?

Решение:

Пусть Т - температура тела в момент времени t. За промежуток времени dt тело

охладится на dT градусов. Тогда скорость охлаждения характеризуется соотношением:

.

По условию при dT=1ч. , .

.

.

;

;

;

;

.

В момент времени t=1 температура тела

;

.

При ,

Ответ: 48мин.