Контрольная 7, 5 вариант
.doc345.) Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
Решение:
Найдем
Составим разность
Вычислим интегрирующий множитель
После умножения на r(x) уравнение становится точным:
Его общий интеграл имеет вид U(x,y)=C, где
U(x,y)=F(x,y)+G(x,y),
Посчитаем отдельно
, пусть , ,
- общий интеграл дифференциального уравнения
355.) Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
,
Решение:
а) Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
, корни уравнения .
б) Правая часть уравнения не является специальной правой частью, но может быть представлена как сумма двух специальных частей = 2sin2x и = 2x. Найдем частные решения для каждой из них, а затем, используя метод суперпозиции, напишем искомое частное решение для всей правой части
- вычислим контрольное число правой части - не корень характеристического уравнения, следовательно, кратность r=0,
- вычислим контрольное число правой части - не корень характеристического уравнения, следовательно, кратность r=0, k=1
Частное решение для суперпозиции примет вид:
Для нахождения вычислим и подствим их в исходное уравнение
Подставим найденные значения производных в уравнение с правой частью
Решим систему:
Итак,
Запишем фундаментальную систему решений однородного уравнения.
Корни у нас равны и действительны, значит
и
Запишем общее решение неоднородного уравнения:
Решим задачу Коши:
Решим систему
Найдено решение задачи Коши
365.) Найти общее решение системы уравнений (рекомендуем решать с помощью характеристического уравнения)
Решение:
Применим метод Эйлера. Запишем систему в матричной форме:
Будем искать частное решение в виде , , где – константы. Составляем характеристическое уравнение матрицы системы (E-единичная матрица n-го порядка):
Находим и из системы уравнений
А) При получаем
Положив , получим . Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение
Б) При получаем
Положив , получим . Таким образом, характеристическому числу соответствует частное решение
Общее решение системы находим как линейную комбинацию полученных частных решений, т.е.
375. По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 200С и тело в течение часа охлаждается от 100 до 300С, то через сколько минут (с момента начала охлаждения) его температура понизится до 600С?
Решение:
Пусть T-температура тела, -температура окружающей среды, -количество теплоты, с – удельная теплоемкость. Тогда количество теплоты, передаваемое окружающей среде при снижении температуры тела выражается формулой или, в деференциальной форме, . С другой стороны скорость отдачитепла можно выразить в виде , где k – некоторый коэффициент пропорцианальности. Из этих уравнений получаем:
Итак из условия составим систему (в момент t=0 и момент t=60), для нахождения константы С и коэффициента :
Температура понизится до 600С через