Контрольная по ВМ №10, вариант 5
..doc485. Представить заданную функцию w=f (z), где z = x + iy, в виде w = u(x,y) + iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке z0.
, .
Решение:
Определим действительную и мнимую части заданной функции:
;
; .
Найдем частные производные этих функций:
; ;
; .
, при всех значениях х и у, следовательно, функция
является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной
плоскости z.
;
.
495. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z - z0 .
, .
Решение:
Функция имеет две особые точки
.
Центр разложения
.
Расстояния до особых точек
;
.
Разложим дробь на элементарные:
;
;
.
1-й случай (внутри круга):
2-й случай (внутри кольца):
3-й случай (на бесконечности):
505. Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его
(расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z1, z2 , z3 .
, , , .
Решение:
Для данного степенного ряда . Тогда .
.
Область сходимости ряда определяется неравенством , которое выражает
внутренность круга с центром в точке радиусом 2. Очевидно, точка
лежит внутри круга сходимости. Поэтому ряд в точке сходится
абсолютно. Точка лежит вне круга сходимости. Ряд в точке
расходится. Исследуем сходимость ряда в точке , которая лежит на
границе круга сходимости. Положив , получим числовой ряд
.
Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость:
. Он является расходящимся.
Определим, является ли ряд условно сходящимся.
.
Действительная и мнимая части этого ряда являются сходящимися рядами по
признаку Лейбница.
Таким образом, ряд в точке сходится условно.
515. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l.
, .
Решение:
Функция внутри контура интегрирования имеет особые точки:
- полюс первого порядка; - полюс второго порядка.
;