К.р. № 7 в. 6 Ряды
.docВысшая математика. Контрольная работа №7.
Тема: Ряды.
316. Исследовать сходимость числового ряда:
Решение.
Каждый член данного положительного ряда меньше предыдущего, поэтому для исследования сходимости используем интегральный признак:
.
Решим сначала соответствующий неопределённый интеграл:
.
Тогда, получим:
, поэтому данный ряд сходится.
Ответ: сходится.
326. Найти интервал сходимости степенного ряда:
Решение.
Находим интервал сходимости ряда:
.
Следовательно, – искомый интервал сходимости.
Проверяем сходимость ряда на концах интервала.
При имеем знакопеременный числовой ряд с общим членом: .
Поскольку с увеличением порядкового номера члены ряда убывают по абсолютной величине, а также
, то за теоремой Лейбница ряд сходится.
При имеем числовой ряд с общим членом: .
Составляем частичные суммы ряда:
Используя определение сходящегося ряда, получим:
, поэтому ряд сходится.
Ответ: .
336. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать:
Решение.
Используя известное разложение функции в ряд:
разложим подынтегральную функцию в соответствующий ряд (для этого умножим известное разложение в ряд почленно на):
Тогда, получим:
Проводим соответствующие вычисления с заданной точностью:
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Поскольку , то
Ответ: .
346. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию y(0)=y0:
Решение.
Пусть решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде степенного ряда по степеням :
По условию , тогда:
(*).
Найдем коэффициенты ряда.
Из условия :
; ; .
Дифференцируем обе части дифференциального уравнения:
; ; ;
Подставим найденные коэффициенты в (*):
Ответ: .
356. На интервале (-π, π) задана периодическая с периодом 2π функция f(x). Требуется:
1). Разложить функцию f(x) в ряд Фурье;
2). Построить график суммы ряда Фурье.
Решение.
1). Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд
,
где коэффициенты ряда , , (n=1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:
;
, (n=1, 2, 3,…);
, (n=1, 2, 3,…).
В нашем случае: , . Находим по формулам соответствующие коэффициенты.
.
.
.
Тогда, получим следующее разложение функции в ряд Фурье:
, (n=1, 2, 3,…).
2). Построим график суммы ряда Фурье для третьей частичной суммы:
.
О